自聚焦多模光纤模式色散的几何光学与波动光学处理方法

张晓光

(北京邮电大学信息光子学与光通信国家重点实验室，北京 100876)

自聚焦多模光纤模式色散的几何光学与波动光学处理方法

张晓光

(北京邮电大学信息光子学与光通信国家重点实验室，北京 100876)

自聚焦多模光纤相比阶跃型多模光纤，模式色散要小两个数量级，现在广泛用于局域网。对于自聚焦光纤模式色散的处理方法主要是基于原用于量子力学的WKBJ近似方法。本文从几何光学和波动光学两个角度分析处理自聚焦光纤的模式色散，得到了与WKBJ方法完全相同的结果。在几何光学的处理方法中，利用费马原理作指导，引入远轴光线与近轴光线概念的区别，用微扰的近似方法解光线方程，最后得到自聚焦光纤的模式色散。在波动光学的处理方法中，基于波动方程，将光纤模式近似成厄米高斯模式，依然采用近轴近似和远轴近似的概念，通过计算传播常数得到模式色散。两种处理方法得到的模式色散结果一致，且处理过程物理意义清楚，非常适合教学时采用。

导波光学；光波导模式；自聚焦光纤；模式色散

0 导言

光波导理论是光纤通信系统的基础理论之一，在光波导理论中，光波导模式理论和模式色散是重要的内容。对于阶跃折射率分布的多模光纤，其纤芯内的折射率分布是均匀的，因此计算模式色散也是简单的，不需要太多的数学理论。但是由于阶跃折射率多模光纤的模式色散过大，在目前的光纤通信系统中已经鲜有应用。在骨干网和城域网中，由于要求的通信容量很大，一般应用没有模式色散的单模光纤。在局域网中，由于折射率渐变的自聚焦光纤模式色散相对来讲比较小，应用得比较多。由于自聚焦光纤纤芯内折射率分布不是均匀的，计算其模式色散，一般采用原用于量子力学的WKBJ近似方法(即所谓的相位积分法)求解[1-3]，数学比较复杂，计算过程物理意义也不十分明显，一直是教学上的一个难点。

笔者在北京邮电大学讲授光通信的物理基础课时，开始研究自聚焦光纤模式色散的教学处理方法。由于讲课对象是刚学完大学物理课程，还没有学电磁场与电磁波或者电动力学课程的学生，用传统全波动观点讲授光纤模式和利用WKBJ法处理模式色散的讲授方式会让学生难以接受。因此笔者试图利用全几何光学的处理方法来求解自聚焦光纤模式色散，发现结合光程、费马原理的概念，利用光线方程求解自聚焦光纤模式色散，数学非常简单，几乎每一个处理过程其物理意义都很清楚，利于学生理解。其中引入了聚焦特性分析以及近轴光线与远轴光线区别等概念，将聚焦特性、近轴光线、远轴光线等物理概念与数学上所取近似程度紧密结合起来，建立了一幅清晰的物理图像，说清楚了以下几个物理问题：(1)近轴光线近似与费马原理预计的等光程性等价，不能用近轴近似结果来计算自聚焦光纤的模式色散；(2)自聚焦光纤的模式色散来源于远轴光线；(3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纤的模式色散比阶跃折射率多模光纤小两个数量级。另外从授课方式来看，从费马原理的基础理论出发，最后解决的是自聚焦光纤模式色散的工程问题，符合从理论到应用的典型学习与认知过程。这样无论是宏观上从理论到应用的安排，还是教学中物理概念与数学紧密结合的处理，构成一个较全面的教学模块，有推广价值。如果在教学实践中，在讲授完费马原理和光线弯曲后，介绍一下太阳下山、海市蜃楼等光线弯曲的自然现象，最后过度为自聚焦光纤模式色散，构成一个从理论讲授到自然现象的解释，再到工程应用的完整架构，那就更加完美了。

为了给自聚焦光纤模式色散一个更完整的教学处理方案，笔者研究了文献[4]，其中将自聚焦光纤模式处理成厄米高斯模式。在此基础之上，引入近轴近似和远轴近似方法，很方便地给出了自聚焦光纤模式色散的正确结果。这样，本文针对自聚焦光纤模式色散给出了一个完整的几何光学与波动光学的教学处理方案。

1 自聚焦光纤模式色散的几何光学处理方法

1.1 费马原理与光线弯曲

在中学物理的学习中，我们知道几何光学建立在光线直线传播、反射定律和折射定律这3大定律之上。大学物理的光学课，几何光学是建立在费马原理的基础之上。也就是说，上述3大定律都可以看成是费马原理的推论。

费马原理表述成[5]：两点之间的真实光线是所走光程相对于路径的变分为平稳的那一条，数学描述如式(1)和图1。

(1)

图1 路径L与L′是从A点到B点的可能路径，其中真实光线路径ALB是光程相比相邻路径AL′B取平稳值的那一条

这样，光线的直线传播只是费马原理在均匀媒质(折射率是均匀的)中的推论，对更普遍的情形，光学媒质折射率是不均匀的，因此根据费马原理，光线可以是弯曲的。以太阳落山为例，由于大气层接近地表的空气密度大，折射率高，远离地表，折射率逐渐减小，太阳落山时，光线是弯曲传输的，地面上的人看到太阳下山时，其实“太阳早就下山了”。海市蜃楼也是光线弯曲很好的例子。

光程变分取平稳值，其中取极小值、极大值、拐点的情景，其真实光线是附近虚拟光线中取变分后的唯一一条，而取光程常数值的情景，得到的真实光线是一组光纤簇，光线簇中的每一根光线光程都相等，即所谓的等光程性。成像光学是光程取常数的典型例子。比如人眼成像(图2)，物点A发出的傍轴光线经眼球聚焦在视网膜上，形成像点，从物点A到像点B的所有傍轴光线的光程都应该相等。由光线所经历时间与所走光程之间的关系t=光程/c(c是真空中的光速)，光程相等等价于时间相等，亦即从物点A到像点B的所有傍轴光线所需时间都相等。设想一下，如果这个时间不等，人眼看到的图像将是不稳定的。

图2 人眼成像

应用费马原理，还可以得到弯曲光线寻迹的定量描述(即光线传输所遵循的方程)——光线方程(公式(2))。这里假定z轴为傍轴光线的主传播方向，而传输光线的媒质假定只在x方向变化[5]

(2)

(3)

从光线方程(2)可以看出，只要给出媒质的折射率分布，就可以通过光线方程得到光线轨迹。

1.2 光纤模式与模式色散

如图3所示，一般来说，光纤大致分阶跃折射率分布光纤和渐变折射率分布光纤。阶跃折射率光纤又根据纤芯的大小分单模光纤和阶跃折射率多模光纤[6]，如图3(a)和(b)所示。渐变折射率分布光纤也是多模的，如果将折射率分布做成如公式(4)的抛物线分布，则光线在其中可以周期性地聚焦，这种光纤也叫自聚焦光纤。

图3 (a) 阶跃折射率分布多模光纤； (b) 阶跃折射率单模光纤； (c) 渐变折射率分布多模光纤

(4)

所谓光纤模式是光纤中能够存在的稳定光场形态。如果用几何光学来描述光纤模式，可以粗略地用纤芯中不同角度全反射的不同光线来表示。如图4(a)所示，接近临界角θc入射的光线表示最高阶模式，入射角大一些的光线代表低阶模式，沿轴线传播的光线代表基模。

图4 (a) 光纤模式色散示意图； (b) 模式色散导致的误码

一个光脉冲从光纤左端射入，由于不同模式光线沿轴线方向的传播速度不同，造成在不同模式中的光脉冲到达光纤右端的时间不同，最后合成的光脉冲将是一个展宽的脉冲，这就是光纤中的模式色散现象。模式色散会导致光纤通信产生误码，如图4(b)所示，假设待传输的码流是“110101”，有光脉冲时记为“1”码，没有光脉冲时记为“0”码。如果模式色散造成光脉冲展宽，展宽到一定程度，“0”码处也有光功率，极易判断为“1”码，这就是误码。

对于阶跃折射率分布光纤，其最大模式(接近临界角θc的光线)传输L距离所需时间为

(5)

基模传输L距离所需时间为

(6)

模式色散定义为光传输单位距离产生的最大时间差(也叫时延差)为

(7)

将阶跃折射率多模光纤的典型数值代入公式(7)，n1=1.500，n2=1.489，则Δ≈0.011，模式色散Δτ=55ns/km。如果对应于某传输码率，传输信号的比特周期至少要求与模式色散相当，则传输20km，传输码率被限制在1Mbit/s以下，这是一个非常低的传输容量，因此阶跃折射率多模光纤不适合目前要求的高速率光纤通信系统。

1.3 自聚焦光纤模式色散的几何光学处理方法

关于自聚焦光纤模式色散的几何光学处理，是笔者的一项教学成果[7]。由于本文的目的是给出一个完整的教学处理方案，因此这里还是要给出文献[7]的主要分析与结论。

公式(4)指出，自聚焦光纤具有抛物线型的折射率分布，中心的折射率高，折射率沿着半径逐渐减少。因此进入自聚焦光纤的光线趋向于向轴线弯曲，即光线围绕着轴线摆动。由于对称性，我们只讨论子午面内光线的轨迹，在子午面z-x平面内，折射率可以表示成

(8)

其中α2=2Δ/a2。

将上式代入光线方程(2)，并考虑傍轴光线近似，得

(9)

(10)

显然，公式(10)是一个典型的简谐振动方程，其通解为

(11)

其中C和φ是积分常数，分别代表光线摆动的幅度和相位。式(11)表明，近轴光线是周期性围绕光轴正弦摆动的，α是摆动的空间频率。可以看出所有近轴光线具有相同的空间周期2π/α，即近轴光线是周期性聚焦的，如图5所示。根据费马原理，从轴线A点发出的所有近轴光线都将聚焦于B点，A点和B点之间的近轴光线是等光程的，不会引起时间差。换句话说，只考虑近轴光线，无法计算出模式色散，模式色散来源于远轴光线，这就是笔者将自聚焦光纤的傍轴光线分成近轴光线和远轴光线的原因。

图5 自聚焦光纤中的近轴光线与远轴光线

可以预言，由于自聚焦光纤光线的这种聚焦特性，模式色散只来源于远轴光线，相较于阶跃折射率多模光纤光线根本没有聚焦特性，自聚焦光纤的模式色散显然比起阶跃折射率多模光纤要小很多，这在随后的讨论中将被证实。

在讨论远轴光线时，利用泰勒展开，保留到αx的二阶项，公式(9)变成

(12)

下面我们用微扰方法讨论式(12)。考虑远轴光线仍具有正弦摆动特性，但是空间频率有所不同

(13)

将式(13)代入式(12)，得到

(14)

其中远轴光线的空间周期变成2π/σ，不是常数。因此在计及远轴光线后，各光线不再可以周期性聚焦，存在着时间差。从式(14)可见，远轴光线的空间频率与近轴光线有差别，随着摆动幅度C的不同而不同。最远的远轴光线幅度为a，则远轴光线的最大空间频率满足

(15)

或者

(16)

令最大模式的对应光线轨迹函数为

x=asinσmaxz

(17)

计算最大模式传输L距离后的光程

(18)

将上式被积函数做泰勒展开，保留到α4a4项，则式(18)变为

(19)

式(19)的后一积分项在积分跨越2π/σmax点时为零，则

(20)

由光程差与时间差的关系，自聚焦光纤的模式色散为

(21)

这个结果与WKBJ近似法计算的结果完全一致[1,2]。将n1=1.500和n2=1.489代入式(21)，得Δτmax=0.25ns/km，比阶跃折射率多模光纤小两个数量级。

总结一下第1节的主要结论：(1)近轴光线近似与费马原理预计的等光程性等价，不能用近轴近似结果来计算自聚焦光纤的模式色散； (2)自聚焦光纤的模式色散来源于远轴光线，利用远轴近似可以得出自聚焦光纤模式色散的正确结果； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纤的模式色散比阶跃折射率多模光纤小两个数量级。

1.4 阶跃折射率多模光纤与自聚焦光纤的比较

前面我们预言，自聚焦光纤具有一定的聚焦特性，而阶跃折射率多模光纤根本没有聚焦特性，因此，自聚焦光纤模式色散小得多。下面我们还是用光程的泰勒展开来分析阶跃折射率多模光纤的模式色散。

我们在图6的阶跃折射率多模光纤中选取光线OGF进行分析，假定它的空间周期也为2π/α，则有

(22)

其中n1L是轴线基模光线走过的光程。可见，由于阶跃折射率多模光纤没有聚焦特性，高阶模与基模光线的相对光程差含有α2a2项。而自聚焦光纤有明显的聚焦特性，这个差值只含有α4a4。显然自聚焦光纤的模式色散比阶跃折射率多模光纤小两个数量级。

图6 阶跃折射率多模光纤的聚焦特性

为了计算模式色散，必须求得最大模式条件，最大模式显然是对应临界角的光线。因此

(23)

整理式(23)，得

(24)

将公式(24)代入式(22)，得到

(25)

则阶跃折射率多模光纤的模式色散为

(26)

与式(7)是一致的。一般地Δ～10-2，则Δ2～10-4，因此自聚焦光纤的模式色散确实比阶跃折射率多模光纤小两个量级。

2 自聚焦光纤模式色散的波动光学处理方法

在通常的光纤通信与光波导文献中，处理自聚焦光纤模式色散是利用原用于量子力学的WKBJ法来近似计算的。本文借鉴文献[4]的处理方法，将自聚焦光纤中的模式按照厄米高斯函数这种正交函数展开来处理，也可以计算自聚焦光纤的模式色散。

2.1 自聚焦光纤模式的厄米高斯函数展开处理

从标量波动方程出发

(27)

令

E(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e-iωt

(28)

得到亥姆霍兹方程

(29)

对于自聚焦光纤，折射率n表示成

(30)

(31)

设ψ有分离变量解

ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

(32)

代入方程(31)，整理得

(33)

如果上式对任意自变量(x,y,z)都成立，等号左边的三项必然分别等于3个常数，即

(34)

和

(35)

其中

(36)

方程(35)的解为

Z(z)～e±iβz

(37)

代表沿z轴正向(正号)和负向(负号)的行波，这里取正号，即取沿z轴正向波。

如果令

(38)

则式(34)的两个方程变为

(39)

这两个方程与量子力学中的谐振子满足的方程一样，其有界解为厄米高斯函数。

方程(39)有有界解的条件为λ1-1与λ2-1取非负偶数，这样才能使方程(39)的级数解中断成多项式解(这样才有界)[8]。

λ1-1=2l,l=0,1,2,…

λ2-1=2m,m=0,1,2,…

(40)

这样

(41)

以及

Xl(x)=NlHl(κx)e

Ym(y)=NmHm(κy)e

(42)

其中Hl(κx)和Hm(κy)是厄米多项式，归一化系数

(43)

这样自聚焦光纤中的光场模式可以表示成

(44)

其中βl m是对应于(l,m)模式的传播常数。由式(36)和式(41)有

(45)

2.2 自聚焦的光纤模式色散

对应于(l,m)模式的群速度为

(46)

相应模式的群延时(传播单位长度所需时间)为

(47)

当考虑近轴近似时

(48)

显然(l,m)模式的群时延

(49)

是常数，与基模群时延τ0一样，没有模式色散。

考虑远轴近似

(52)

其中用到了式(45)，可得最大模式号

(53)

将式(53)代入式(51)，得到最大群延时

(54)

则自聚焦光纤的模式色散为

(55)

这结果与几何光学的处理结果式(21)完全一样，这里仍然用到了远轴近似。

3 结论

本文给出了一个完整的解决自聚焦光纤模式色散的几何光学与波动光学的教学处理方案。在几何光学的处理方法中，以费马原理和光程的概念为基础，利用光线方程求解自聚焦光纤的模式色散。其中引入了近轴光线与远轴光线的概念，并讨论了它们的聚焦特性，给出了与WKBJ法一致的自聚焦光纤的模式色散公式。将聚焦特性、近轴光线、远轴光线等物理概念与数学上的不同近似程度紧密结合，几乎在教学的每一步骤，都给出了清晰的物理图像，明确了下列物理问题：(1)近轴光线近似与费马原理预计的等光程性等价，不能用近轴近似结果来计算自聚焦光纤的模式色散； (2)自聚焦光纤的模式色散来源于远轴光线； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纤的模式色散比阶跃折射率多模光纤小两个数量级。在波动光学的处理方法中，基于波动方程，将自聚焦光纤模式近似处理成为厄米高斯模式，在此基础上，结合近轴近似和远轴近似的处理，也给出了自聚焦光纤模式色散的正确结果。

[1]MarcuseD,Theimpulseresponseofanopticalfiberwith

parabolic index profile[J]. Bell Syst. Tech. J., 1973, 52: 1169-1174.

[2] 顾婉仪，李国瑞.光纤通信系统[M]. (修订版). 北京：北京邮电大学出版社，2006：45-50.

[3] Ghatak A, Lokanathan S. Quantum Mechanics: Theory and Applications[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2004：423-459.

[4] 伽塔克A K, 谢伽拉扬K.近代光学[M].袁一方,译.北京：高等教育出版社，1987:308-335.

[5] Ghatak A.光学[M].4版.张晓光，席丽霞，余和军,译.北京：清华大学出版社，2013：47.

[6] 原荣.光纤通信[M]. 北京：电子工业出版社，2002：52-78.

[7] 张晓光，黄琼，万仁浚.光程、费马原理和光纤的模式色散[J].大学物理，1996, 15(4):4-6. Zhang X G, Huang Q, Wan R J. Optical path, Fermats’s priciple and intermodel dispersion[J]. College Physics, 1996, 15(4): 4-6. (in Chinese)

[8] 曾谨言.量子力学卷 Ⅰ[M].北京：科学出版社，2007：513-516.

■

THE TREATMENTS IN THE VIEWS OF GEOMETRICAL OPTICS AND WAVE OPTICS FOR TEACHING INTERMODAL DISPERSION OF A PARABOLIC INDEX PROFILE FIBER

Zhang Xiaoguang

(State Key Laboratory of Information Photonics and Optical Communications,Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876)

The graded-index fiber with the parabolic profile has an intermodal dispersion which is about two order smaller than that of the step-index fiber, and is widely used in local area network. The intermodal dispersion of this kind of graded-index fiber was conventionally treated with WKBJ approximate method which is originally used in quantum mechanics. This paper proposes the teaching treatments from the views of geometrical optics and wave optics, and obtains the same result as that calculated with WKBJ method. In the geometrical optics treatment, based on Fermat Principle, we introduce the new concepts of near-axial and far-axial rays, and give the solution to the ray equation using a perturbation approximation. In the wave optics treatment, based on the wave equation, the fiber modes in the graded-index fiber are treated as the Hermite-Gaussian modes. The intermodal dispersion is obtained by analyzing the propagation constant with the aid of near-axial and far-axial approximations. With these treatments we obtain the same result, with clearer physical significance. We believe that the teaching treatments proposed in this paper are more appropriate in the undergraduate courses of optical fiber communications.

waveguide optics; modes in optical waveguide; graded-index fiber with parabolic profile; intermodal dispersion

2016-05-31

张晓光，男，教授，主要从事物理教学与光通信研究，研究方向为光纤中的偏振现象与控制，光纤通信信号处理等，xgzhang@bupt.edu.cn。

张晓光. 自聚焦多模光纤模式色散的几何光学与波动光学处理方法[J]. 物理与工程，2017，27(1)：23-29，43.