浅析概念扩张在整数指数幂中的应用

李会思

【摘要】数学概念教学既是课堂教学的重要组成部分又是数学课堂教学的核心。概念扩张又在数学概念教学中极为常见，本文以概念扩张在整数指数幂中的应用为例进行探析。旨在使学生经历整数指数幂扩展的过程中，体会到一套新概念扩张的研究方法。

【关键词】整数指数幂 数学思考 学生参与度

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0240-02

整数指数幂是在正整数指数幂扩充到自然数指数幂后的又一次扩充，将指数的范围扩大到整数。旨在使学生在经历整数指数幂扩展的过程中，体会到一套新概念扩张的研究方法。本节课是我们引导学生怎样认识、探索数学世界的一个很好的切入点。在教学设计方面的要求在指数概念和运算性质的扩充过程中，注重知识的产生、发展过程，注重学生的思维参与度。下面基于A、B老师在授课中两个重要环节进行阐述分析： 一、如何由a0=1类比得出a-p=1/ap（其中a≠0，p是正整数）

A老师提出同底数幂相除的性质在m、n是正整数，且m

B老师提问同底数幂除法的运算性质在m不大于n的情况下，还能否使用呢？计算a3÷a5。在a3÷a3 =a0=1（a≠0）提供了方法上参考的前提下，蕴含类比的思想方法，由同底数幂除法法则可得a3÷a5=a3-5=a-2，由分式的基本性质，约分可得a3÷a5=1/a2（a≠0），即a-2=1/a2（a≠0）。接着B老师为暗示学生思考数学问题采取从特殊到一般的思想并提出：为了让同底数幂除法的运算性质能够适用于m

二、正整数指数幂运算性质的扩展

A老师首先回顾正整数指数幂中同底数幂乘法、幂的乘方及积的乘方的运算性质。然后提出问题：现在我们已经把指数扩展到全体整数，那么正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否仍然成立呢？指数幂概念的扩展并不能直接带来幂运算法则的扩展，相反新的概念对原有的法则是否适用，是否带来矛盾，是需要认真对待的，在这里A老师仍采取从特殊到一般的思想，进行举例验算，A老师分析到学生的困难在于：一是不理解为什么对指数m、n取值要求及取值的多样性。二是不知道检验的方法。为化解难点，先由A老师板演一个具体的验算过程和方法，然后给了学生自由发挥的空间，以小组合作的方式，设置了一个自己举例验算的小环节。A老师规定了哪个小组检验哪条运算性质。这样既节省了时间又能让学生在举例验算的过程中感受法则推广的推导过程，再次感受负整数指数幂规定的合理性。最后是学生示例环节，可以使学生通过比较，体会数据选取的多样性及分类讨论的数学思想，最后A老师提示学生：检验不是严格的证明，慎重对待数学要有严谨的态度。

B老师用活动的方式检验性质，他先让同学们看一下其它几条性质的限定条件中“正”字可以去掉吗？然后选择同底数幂乘法的运算性质进行验证。其活动要求：1.类比同底数幂除法的研究过程，写出几个同底数幂乘法的算式，要注意指数的多样性。2.先独立思考，再小组合作，结合算式验证。B老师类比同底数幂除法运算性质的推广，对同底数幂乘法的运算性质进行探究。学生根据活动要求，通过独立思考、合作交流、匯报展示的方式，经历寻找研究素材、推理归纳的过程，进而验证了性质的正确性。对于其他几条性质，由于探究的方法十分相近，B老师说明其正确性，并没有让学生逐一推导，采用课后思考完成。这样设计既节省时间又提高了课堂的效率，同时也留白给学生，扩大了学生思考的空间。

在数学概念教学中新概念扩张极为常见，整数指数幂的教学让我们积累了一套新概念扩张的研究方法。学生由问题的引领一步一步的思考，掌握了由特殊到一般的数学思想，提升了学生的思维参与度。为了培养学生的创造性思维，必须让学生有实质性的数学思考。

参考文献：

[1]张建跃.数学课堂教学设计研究[J]数学通报，2006

[2]郝利华.猜想在初中数学教学中的应用[J]学术研究，2013