高中数学数列求和方法的探究

谢宣霆

【摘要】数列是高中数学课程的重要知识点，是学习的重点、难点所在。高考在数列中的考查方式多样化，求和方法的综合掌握，对于解决数列问题至关重要。本文通过倒序相加求和、错位相减求和、裂项相消等方法，阐述了高中数学数列求和的常用方法，以提高数列求和的运算效率。

【关键词】高中数学 数列 倒序相加 错位相减 求和

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0098-02

数列是高中数学课程中的重要内容，是高考考查的“黄金”知识点。数列求和是数列知识考查的重要方式，强调对数列基础知识的扎实掌握、有效应用，进而在灵活变动中寻求“求和”的新路径。高中数列求和，有“技”可循，有“式”可用，通过错位相加、倒序相加的技巧，构建求和新公式，让没规律可循的数列求和能够巧妙解决。因此，在归纳总结中，罗列高考数列求和的常用方法，提高数学学习效率，消除一遇数列求和就头痛的尴尬。笔者结合对教材的学习，就高中常用的数列求和方法进行探讨，提高高中数列求和的有效性。

一、调转方向，倒序相加求和

在数列求和中，经常出现这类数列：与数列首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。但对这类数列进行求和之时，则可以调转思考方向，抓住数列特点，通过倒序相加的方法，求出数列{an}前n项的和。所谓倒序相加，就是把正写与倒写的式相加，进而得出常数（a）。在对等差数列前n项和的求算中，教材所用的方法就是倒序相加法。因此，在数列求和练习中，要善于灵活应用，对复杂通项的某两项以作“和”的方式，发现规律、寻得求和路径。

分析：乍一看，整个题目简单，但感觉非常复杂，有种无从下手的感觉。但是，若对倒序相加法比较熟悉，就可以在进行求算之时，可以通过计算“f（x）+f（x-1）”，看其是否会等于某一常数。经验算，f（x）+f（x-1）=1。对此，在求和之时，可以运用倒序相加的方法，很快求算出数值。

此题知识结合面执教广泛，将函数与数列进行结合，这是高考最为常见的综合考查的发生。若未发现“f（x）+f（x-1）=1”，采用倒序相加的方法，是很难以求算所得。因此，在数列求和的过程中，要善于利用教材方法，并进行灵活变通。可能数列通项与教材“等差数列求和”存在差异，但具有这类特点的数列在倒序相加的过程中是一致的，还是强调对倒序相加求和的理解并发散思维。

二、错位整理，错位（加）减求和

错位相减对于高中生而言，是应用较为广泛的求和方法，并且有种“屡试不爽”的效果。错位相减有其方法的巧妙性和优越性，但也存在一定的局限性。教材“等比数列求和”所用的方法就是“错位相减法”，要求在理解的基础之上，灵活掌握，提高求和计算效率和正确性。在数列求和之时，但数列{an}的通项，an=（an+b）·cn之时，我们一般就可以采用错位相减的方法求和。

例2：已知数列{an}，an=（2n-1）·3n，求数列{an}的前n项之和。

分析：该数列的通项“（2n-1）·3n”就是典型的“（an+b）·cn”形式，我们在进行求和计算之时就应优先考虑运用错位相减法。当然，在实际的计算当中，数列通项式可能不会这么直接或简单的给出，但在解答方法上是一样的。

该题运用错位相加法，巧妙地实现了数列求和。但是，在求算当中，运算量相对较大，且需要特别注意“位”，调整之后的错位相减，要对好“位”，这是避免运算失误，进而提高运算准确性的关键。与此同时，要善于观察，观察数列通项的特点，结合已学知识，对数列进行错位调整。

三、分裂通项，裂项相消求和

复杂的数列通项，往往在处理之后并不复杂。分裂通项就是处理数列通项，获得求和简便之道的有效措施。所谓分项相消求和，就是将数列每一项拆分为“兩项之差”，并能够在相邻两项之间进行部分消除。因此，裂项相消法的技巧性更强，要求对通项有准确的判断，并通过适当的“技术”处理。在很多情况之下，裂项不确定，很难进行下去。此时可以采用“待定系数法”，对裂项进行确定。

总而言之，数列求和是高中数列的知识重点，考查方式多样，且具有知识面广、结合范围大等特点。在对数列求和的过程中，一是要“巧”，巧用求和方法，变繁为简、变难为易；二是要构建新数列，通过错位、裂项等方式对数列通项进行处理，为求和创造新的切入点；三是要善于发散思维，在已学知识点的基础之上，灵活应用、善于变化，以旧方法解新问题。

参考文献：

[1]郝天亮.运用“巧”法解决数列问题提高解题效率[J].中学生数理化，2013（03）

[2]丁宝权，陈毅娟.例谈数列求和的方法和技巧[J].中学数学教学参考，2015（06）

[3]邢志强.高中数学中常见数列求和方法探究[J].成才之路，2016（07）

[4]李磊.高中数学数列求和的常用方法管窥[J].读写算（教育教学研究），2015（13）