期权定价理论方法研究

徐喆

【摘要】本文对现有的期权定价方法进行了梳理，重点分析了不同定价方法的核心思想和历史发展历程，分析和总结了现有方法中的优势和不足，以此为基础提出了期权定价理论未来的研究方向。

【关键词】期权定价；鞅测度；数值计算

1期权定价问题

对于一普通欧式看涨期权，我们假设该期权约定在时刻T，买方可以以事先定好的价格L购买1股给定的股票，我们称T和L分别为期权的执行时刻和执行价格。到时刻T时，该股票的市场价格为ST，因此，将会出现两种可能：

ST>L，则期权生效，期权所有人将以价格L购买股票，获得利润ST-P；

ST≤L，则期权所有人将放弃购买权力。

由此可见，该期权为期权所有人在时刻T带来的收益为maxST-L，0，而如果考虑到收支平衡，期权卖方定下的期权价格期望就将与收益期望持平，有

E（CT）=P·ESTST>L-L+1-P·0

=P·ESTST>L-L

其中，P为ST>L的概率，ESTST>L为在ST>L条件下ST的期望值，将期权到期期望值按有效期无风险连续复利rT贴现，即可得期权初始合理价格

C=Pe-rTESTST>L-L

这样期权定价问题也就转化为确定P和ESTST>L。

2期权定价方法的分类

期权定价理论是解决期权定价问题的核心内容，而由于期权价格和其标的物价格变动的概率和收益率的多少有着直接关系。本节主要探讨解决期权定价问题的不同角度，一般而言，如今期权定价的方法主要有三种：偏微分方程定价法，鞅测度定价法和数值定价法。

2.1偏微分方程定价法

偏微分方程定价法的基础是BlackScholes期权定价模型。而由于对于期权定价理论方法的开创性，BS模型在期权定价理论中具有崇高的地位。

BS模型要求基础资产价格服从几何布朗运动，即假设市场是完全且无套利的，市场的交易方式是完全理想化的。通过构建一个无风险资产组合，消去微分方程中资产价格波动幅度的影响，使该资产组合的收益等于无风险利率，由此得到衍生资产价格的BS微分方程：

P（x，t）t-rP（x，t）+rxP（x，t）x+12σ2x22P（x，t）2x=0

P（x，T）=max0，x-k，x>0

其中，P（x，t）表示t时刻标的价格为x时看涨期权的价值，T为期权的有效期限，r为无风险利率，σ2为标的资产收益率变化速度的方差，k表示期权的执行价格。该方程的下式即是期权所满足的边界条件，利用该边界条件求解BS微分方程就能得到期权的价格。BS模型对条件有严格的假设，该模型要求期权是欧式期权，其标的物的价格服从对数正态分布，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的，而且不存在税收、交易成本和红利等其它所得等等，在新型期权不断涌现的今天，具有一定的局限性。

2.2鞅测度定价法

1979年，哈里森和克雷普斯提出了鞅测度定价法，在鞅测度定价方法下，我们可以将真实世界的概率转换成等价鞅测度（也叫做无风险概率测度），通过求解出未来回报的贴现值在等价鞅测度下取得的条件期望，估计出期权的当前价格。

引入风险中性概率测度Q，得到股票价格的随机过程：

dStSt=rdt+σdWQ

该微分方程的解为St=S0e（r-12σ2）t+σWQ，之后利用Girsanov定理，经过推导得到股票价格的动态过程，从而得出股价在ST>L时的期望EQSTST>L，则期权定价公式为：

C=S0Nd1-e-rTLNd2

其中，

d1=lnS0L+r+12σ2TσT，d2=lnS0L+r-12σ2TσT，

Nd1=∫d1-∞e-12u2·12πdu

鞅理论在期权定价中的应用，改进了BS模型求解复杂的缺点，简化了BS模型的推导过程。鞅与金融资产价格运动过程特征的相似性，使得鞅在20世纪80年代后成为了主流金融經济学研究中不可或缺的一员。此后，一些学者不断的对鞅方法进行了不断的探索，研究出了包括指数半鞅、对偶鞅、连续鞅等运用鞅进行期权定价的方法。

2.3数值计算方法

常用的数值计算方法有三种：二叉树方法，蒙特卡罗模拟方法和有限差分方法。

2.3.1二叉树方法

二叉树模型又被称为CRR模型，在该模型中，期权的有效期被分为n个足够小的时间间隔。在每一个时间间隔内，假定标的物的价格从x只运动到比现价高的xup和比现价低的xdown，概率分别为p和1-p。这样我们就能建立一颗CRR树，树的第m层就会有m+1种价格状态，树的最后一层就对应着该期权到期日股票价格的各种可能状态。

CRR模型假设了期权到期时的支付和路径无关，因此它仅仅只依赖于股价上升和下降的次数，而并不依赖于上升或下降的顺序。该模型利用数学归纳法，将期权到期日的所有可能状态，倒推至期初得出期权在0时刻的价格。

c0=e-rn∑ni=0Cinpi1-pn-icni

cni为在n期中有i次上升情况下期权在n时刻的价值，c0即是期权在n时刻所有可能价格状态期望值的贴现，也就是0时刻的价格。而CRR模型在n足够大时，所得到的就是BS方程定价的结果。

CCR模型的最大优点在于它是一个离散的数学模型，可以把给定的时间段更加细分，因而可以处理更为复杂的期权。自CRR模型问世以来，经过众多研究者在实践中的不断修正，已经使其更加符合金融市场的实际情况，各大金融市场已将其作为期权定价的重要工具。

2.3.2蒙特卡罗模拟方法

蒙特卡罗模拟方法同样将时间区间分成n个子区间，并在每个区间内随机抽取样本，得到每个子区间内的一个股票价格，这样就可以模拟出股价的一个可能的运行路径。在风险中性测度下，计算出这条路径下期权的到期回报，根据无套利定价原则用无风险利率得到回报的贴现值。这个结果可以看作是期权价格全部可能结果集合中的其中一个随机样本，所以如果重复足够多的次数，可以得到一个样本数量足够多的期权价格集合，我们对这个集合的价格求得期望值，就可以得到蒙特卡罗模拟值，得出最终期权价格的近似结果。

蒙特卡羅模拟法是在假设风险中立、市场完美的条件下，利用随机数抽样的方式，模拟出一条条资产价值变化的可能途径。而根据大数定律的定义，随着随机抽样次数的不断增加，可以使计算出来的值的误差不断缩小，最后收敛于期权价格。近些年来，以朗斯塔夫和施瓦茨于2001年提出的最小二乘蒙特卡罗模拟法最为著名。他们提出的方法在模拟出路径后，在每一个可以提前执行期权的结点处，都可以利用比较提前执行的价值和到期日模拟价值大小，选择是否在该结点提前执行终止，这符合美式期权的特点。

2.3.3有限差分方法

有限差分方法可以用于求解微分方程，因此利用有限差分法解决BS方程也成为了解决期权定价问题的一个重要方法。该方法将BS方程进行离散化，用很多个差分代替微分，从而求解微分方程就变成了求解线性方程组，将复杂的积分求解方法改为运用迭代法求解，借助计算机的运算能力将整个过程进行了简化。

因为美式期权可以提前支付，所以不存在解析形式的定价公式，对美式期权进行定价必须通过数值方法进行处理。E.Clement等人结合变网格的思想给出了关于股价步长的变网格差分方法，D.Y.Tangman等人则提出了快速有限差分方法。在诸多数值方法中，有限差分方法更易实施并且能获得更可信的数值结果，是解决美式期权定价问题最有效的方法之一。

三种数值计算方法拥有相似的方法思路，利用足够多次的模拟计算，得到期权价格的数值近似解。这种方法随着计算机和计算方法本身的飞速发展，逐渐的简单化和精确化，而且它们在解决美式期权、奇异期权等定价问题上的表现，使得数值计算方法成为期权定价理论中最有效的方法之一。利用新型的数值计算方法，提高计算方法的效率解决各类期权定价问题，将会是期权定价今后研究的重要方向。

3期权定价方法存在的问题

期权是当今金融市场研究中的一个重点，而正是因为研究的不断深入，各种新型期权的诞生也使得期权定价方法的局限性越来越强。例如对比普通欧式期权的美式期权，涉及了不少的不确定因素。由于美式期权可以提前执行，具有更复杂的时间价值，它所包含的获利机会比同样条件下的欧式期权多很多，因此在对美式期权进行定价时需要对时间价值进行更加细致的分析。对时间价值的分析需要考虑标的物的现价、价格波动情况、距到期日的时间等等，需要涉及到偏导数、边界条件、最优停止理论等等诸多的可能方法，目前尚没有一般的公式予以描述，而这正是近些年各学者研究的重点。

而比起常规期权（标准欧式或美式期权），奇异期权是更加复杂的新型期权，他们花样繁多，通常在常规期权的基础上加以变化或者组合而成。具有随机波动率、随机分红、交易费用、执行价格浮动等等复杂的情况，这也是期权定价理论中比较难解决的问题，因此需要进行不断的尝试和探索，对模型改进和完善。