三线相融：深度研读教材的几种方式

范艳华

摘要：教材是教学的主要资源，是教与学的重要凭借。对教材的研读不能仅局限于教材文本，而要站在数学学科本质的高度，從教材的编写视角、学生的学习思维视角以及教师的导学视角，做到“三线相融”。以此为基础，才能深入钻研教法与策略，寻找教材、教者与学生之间的 “融合点”，把学生真正带到知识和思维的更高之处。

关键词：小学数学；教材研读；三线相融

中图分类号：G42 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2016）12A-0039-04

一个教师的专业成长水平，其首要的衡量标准是教师的“教材把握力”，这项能力的高低则取决于教师对教材研读的深度和广度。笔者在平时听课及与教师的课后交流中，发现很多教师不知教材应该如何研读——备课时，常常只是看一下教材上的课时内容，然后找一些有关教学设计的参考资料，截取一些“成功做法”，拼拼凑凑就成了一节课的教学预案；课中，对于生成性问题，常常感到措手不及；课后，问及本课内容的一些核心概念、知识结构体系以及某个教学环节背后的设计意图之类问题，常常也是无从答来。有鉴于此，提高教材研读能力是当下广大一线教师的一个重要课题。教师在课前可以从编者、学生、教师三个视角，对教材进行“三线相融”式的研读。在此基础上，对教学目标进行合理定位，对教学素材做出选择，设计有效的教学方案，引导学生理解和运用数学知识，发展数学思维。

一、编者视角，把握数学知识的生长之线

小学数学每一课时的知识内容，都不是一个独立的存在，而是处在所属的一个整体的知识结构之中，各知识版块之间有着相互关联、逐步深入的内在联系。在对每一课时内容进行研读时，首先要从整体上把握教材的编排结构，厘清这一课时内容在所属知识体系中所处的地位，了解知识发生的过程、产生的背景及其背后蕴含的思想方法，进而把握知识内容的生长主线。这样，才能在预设教学时知道从哪里开始，又可以延伸至哪个层面。以苏教版六年级上册《整数除以分数》这一课时内容的研读为例。

1.教材的编排脉络

对于教材的编排脉络，主要厘清相关知识在本套教材中的分布和各部分之间的关系，以及各部分知识在教学时需要达成的教学要求。

教材在安排这部分内容时，注意遵循由易到难、循序渐进的原则。编排分两块：一是计算法则的教学，顺序为分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数；二是实际问题，顺序为分数除法应用题、两步计算、分数乘除混合运算。

先教学分数除以整数，再教学一个数除以分数。在教学一个数除以分数时，又是先教学整数除以分数，再教学分数除以分数。整数除以分数，安排了两道习题，例题2是整数除以几分之一，例题3是整数除以几分之几。这样安排，能使学生在不断探索新知的过程中逐步完善对分数除法计算方法的理解，通过自主的活动归纳并总结出分数除法的计算方法。

2.知识的生长脉络

分数除以整数，从例题 ÷2，分子能被除数整除，到“试一试” ÷3，分子不能被除数整除，初步得出除以一个整数，就是求这个整数的几分之一是多少，只要用分数乘这个整数的倒数。在此基础上，再自然生长到整数除以分数，由整数除以几分之一到整数除以几分之几，通过画图直观的过程，得出整数除以分数也等于乘除数的倒数。由这两方面的基础，自然提升到分数除以分数，最后得出一个数除以分数的统一的计算方法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

3.不同版本的对比与启发

分数除以整数，人教版、苏教版、北师版三个版本的教材都是通过图形直观的方式，让学生理解算理得出算法。学生也比较容易基于图形直观及整数除法的意义理解。在直观的基础上，逐渐将学生的思维由除法转向乘法。特别是北师大版，在教学了 ÷2之后，有意安排了 ÷3；因为前者可以从整数除法的意义的角度，用分子先除以2，后者则不同，分子4不能被3整除，由此可让学生感知前者的局限性，自然就将学生的思维引向乘法。对于接下来的整数除以分数，三种版本的教材尽管依然采取直观的形式，但是显然已采用半抽象的线段或者直条模型，北师版教材则利用长方形的宽一定，长与面积的变化关系，让学生理解算理，进而得出算法。

通过比较研读三种版本的教材，可以看出，分数除法的教学，因为相对整数除法抽象许多，因此在教学时先让学生经历直观的操作活动或者图形的观察，从整数除法的角度将之自然生长过来。在此基础上，再逐步引导学生进行数学联想和推理，最后通过比较归纳，得出分数除法的通用法则。

二、学生视角，探寻数学学习的思维之线

对教材的深度研读，除了从“编者”“排”的视角解读，更需要从学生“学”的视角深入地把握教材，探寻学生学习这一知识内容时的思维之线。教师从学生学习的角度研读教材，可以从以下几个问题思考：

1.学生的认知起点

对一节课的学习，学生认知起点的确定尤为重要。学生已有的认知基础是什么？认知水平如何？通过本节内容的教学学生能在哪些方面获得发展？学生有没有和本节知识相关的生活经验？

以苏教版四年级上册“角的度量”为例。本节内容中学生已有的知识经验是对于角的概念的认识，知道角的大小指的是角的两边叉开的大小。学生已有的数学活动经验是会画出一个角，会用重叠的方法比较两个角的大小，会用直尺度量线段的长度。学生的认知起点是“如何来度量两边叉开的大小”。因此，教材一开始先让学生用熟悉的数学工具三角板上的角进行度量，能比出这个角和三角板上的角的大小关系，但是不能知道这个角到底有多大，由此引出角的度量工具量角器。

对于如何度量一个角的大小，学生基于已有的知识经验和活动经验，会像教材上那样用三角板上的角比划着量，还会用直尺去试着量两边之间的距离。因此教师在教学设计中，需要让学生由这一经验基础出发，自然过渡到用量角器量角。

2.学生的认知转折点

学生在学习本知识内容时新旧转折处在哪里？通过什么方式让学生自然将新知纳入到已有的认知系统，进行同化？

还是以“角的度量”为例。“角的度量”是学生在第二学段学习“角的认识”中的一个重要内容，是区别于长度、面积、重量等另一个维度的测量知识内容。学生的认知转折点在于：原来对于线段的长度的度量只要用直尺顺着线段起点到终点直线方向测量即可。然而角的度量工具不再是直的，而是一个半圆形的工具，度量的方法除了关注点还要关注线，即所谓的“二合一看”，学生经历一个“由直向曲”的转折点。因此，在设计教学时首先要让学生仔细观察、了解量角器的构造特点，特别是量角器上与0刻度线所构成的角的度数在刻度圈上是内圈还是外圈，让学生学会正确地使用量角器，这是准确量角的关键所在。

3.学生认知的困难点

本节课的知识内容对学生而言学习难点在哪里？用什么方法可以帮助学生突破难点？“角的度量”这一课内容中，学生的认知困难点是在量角的时候如何区分内外圈的刻度。因为当学生在经历量角“二合一看”的“看”的环节，学生看到角的另一边所对的刻度有内外两圈，这时如果学生不理解量角器构造的实质，往往会在两个刻度中随便选一个。

为了突破这一个难点，各版本的教材都有所设计。如北师大版和人教版教材，在引进量角器之前，都设计了1 角的认识，即将圆平均分成360份，其中1份所对的角的大小叫做1 ，然后在1 角的基础上让学生找出30 、50 、60 、90 、120 、180 ……。

这样的设计，主要是让学生在观察找出由1 角的累计成角的过程中动态地感知角的大小变化过程，从而便于学生在量角器上也能准确地找到不同度数的角。另外，无论是人教版、北师版还是苏教版教材，在引进量角器、认识量角器的环节，都设有“在量角器上找出指定度数角”的练习，为学生实际量角时候的“二合一看”做好准备。

三、教师视角，求索数学教学的主导之线

在理清了教材的知识生长脉络以及学生学习思维脉络的基础上，就需要在教材和学生之间架起一条教师“导”的主线，也就是如何让学生在原有认知基础之上自然生长新知，又如何在教师的引导之下顺利突破认知的困难点，进而让学生的数学思维得到较好的发展。以苏教版三年级下册“长正方形的面积计算”为例。

1.新旧知思维无痕对接

“长方形的面积计算”是平面图形的面积计算教学的起始课，是以后进行平行四边形、三角形、梯形及圆等平面图形的面积计算方法学习的基础。“长方形的面积计算”是紧接着“面积的意义及面积单位”知识的学习编排的，因此学生学习“长方形的面积”的基础是对面积意义的理解；而面积概念的出现是学生认识事物从一维空间走向二维空间的开始。基于这样的学情实际，从教者的角度，要让学生新旧知的思维自然对接生长。

教学的起点之处，教师可以引导学生的思维从一维向二维生长。如可以先让学生回忆如何测量一条线段的长度，在此基础上由线段动态铺出一个长方形的平面，让学生思考如何知道这个长方形面积，进而让学生通过用面积单位测量出长方形的面积，理解面积的大小就是看这个平面图形中一共包含着几个面积单位。

这样不着痕迹的设计，能很好地将学生的思维自然地从一维的“长度”领域引导到二维的“面积”领域，并且为后续长方形面积推导中长、宽的乘积与所摆单位面积的小正方形个数之间的联系做了很好的思维孕伏。

2.学导主线贯穿思维始终

长方形的面积计算方法探究中主线是帮助学生沟通一维长度属性与二维平面属性间的联系，体现化归思想，扩展学生认识图形的基本视点，培养空间观念。如计算一个长4厘米、宽3厘米的长方形的面积。已知的信息是线段的长度，而所求的问题则是图形的面积，于是，学生在思考时需要把新问题作如下转化：

长4厘米，其实是说明我们可以沿着长边摆这样的4个面积单位（此时的面积单位为1平方厘米的正方形），根据宽3厘米，又可以得到“摆这样的3行”這一信息。当我们得到了4×3总共12个面积单位时，也就得出了这个长方形的面积是12平方厘米。

此时“化归”的思维过程，更多指向于回归面积本源，借助面积单位的特点，找到长度属性与面积属性之间的联接点和对应关系，从而解决新问题。而如同这样的化归，在后续学习长方体的体积计算教学中，引导学生从一维长度属性、二维面积属性扩展到三维体积属性的认识时同样适用。

基于以上分析，教学设计中可以贯穿这样一条主线：用单位面积的小正方形去铺满这个长方形，无论长和宽是多少，每排个数就是长所包含的单位长度个数，排数就是宽所包含的单位长度的个数。

先让学生用1平方厘米的小正方形摆一摆，量出长方形的面积，在这个过程中学生通过操作活动直观体验一维与二维之间的关系。第二层次，让学生通过想象感受两者之间的关系，将刚才学生直观测量的长方形的长和宽逐渐进行延长变化（课件上在变化后的长边和宽边上分别配上直尺，然后再动态铺出相应的单位面积的小正方形），让学生在动态变化中感知、想象此时这个长方形的长、宽与面积之间的关系，最终通过长方形变化到撑满屏幕，甚至想象延伸到屏幕以外了。此时，学生自然产生不再需要借助单位面积的小正方形去度量了，而要总结出一个长方形的面积计算公式这一学习心理需求，此时教学面积计算公式也水到渠成了。

3.认知冲突引向思维深处

对于教材的研读，除了要从知识内容的本身展开，还需要深入到学生思维的深处，即要利用教材中的可延伸之处，激发学生的思维冲突，将学生的思维引导到更深之处。

在教学“长正方形的面积计算”时，当学生推导得出长方形的面积计算公式之后，应用公式求长正方形的面积，对于学生而言，并没有思维的障碍和冲突，但在后继的学习中，学生对于一维变化和二维变化之间的关系，还不是很明了。比如，长方形的长和宽都扩大3倍，那么这个长方形的面积随之应该是扩大3 倍，但学生往往会认识是和长度倍数一样，面积也应该扩大3倍。

對此，在进行教材基本练习的基础上，教师可以增设一个变式题。先让学生画一个面积是18平方厘米的长方形，然后让学生凭着直觉推理思考：如果长方形的长和宽都乘以2，那么变化后的长方形的面积是多少平方厘米？许多学生会脱口而出：“36平方厘米”。此时，就是一个很好的思维冲突处。教师可以让学生在方格纸上先画一画，再观察、计算变化后长方形的面积。这样，学生从一开始对于一维变化与二维变化之间的直觉浅层的判断，经过直观操作与仔细思考，已经能清楚地理解之间的变化关系了。经过这样对教材的深度开发与补充设计，学生对于本节课的知识主线与思维主线就会理解得比较透彻了。

教材是教学的主要资源，是教与学的重要凭借。对教材的研读不能仅仅局限于教材文本，而要站在数学学科本质的高度，从教材的编者视角、学生学习思维的视角以及教师导学的视角，做到“三线相融”。 以此为基础，才能深入钻研教法与教学策略，寻找教材、教者与学生之间的 “融合点” ，把学生真正带到知识和思维的更高之处。

责任编辑：丁伟红

Deep Interpretation of Teaching Materials from Different Angles

FAN Yan-hua

（Xishan District Bureau of Education， Wuxi 214101， China）

Abstract： Teaching materials are the major resources of instruction and also the dependence of teaching and learning. Therefore， we should not confine the interpreting of teaching material to texts， but we should start from the essence of mathematics to analyze and interpret the teaching materials from the angles of compilation， students thinking and teachers guidance. On the basis， we can deeply research into teaching methods and strategies， and discover the integrating point of teaching materials， teachers and students， so that students could be led to the higher spot of knowledge and thinking.

Key words： primary mathematics； teaching material interpretation； three-thread integration