关于解“鸡兔同笼”问题“假设法”的思考

刘慧

【摘要】总结学生用“假设法”解“鸡兔同笼”问题暴露出的三方面的问题与疑惑；分析了通常对“假设法”理解与应用的不足之处：假设不明确，限制了问题模型的应用范围和学生的思路，影响学生发散思维能力的发展，假设不符合学生的认知特征；指出造成这些问题的原因是对“假设法”理解偏颇造成的，并探讨了这种解法的实质是根据已知条件，先推测与估计，提出猜想，做出假设，然后验证假设，进行调整直至符合已知条件的过程.

【关键词】鸡兔同笼；假设法；教学思考

“鸡兔同笼”问题不仅是教师举行公开课和参加优质课评比时钟爱的教学内容，也是教研活动的主要研究对象.笔者听了几堂关于该问题精彩纷呈的优质课，备受启发，但课后调查发现大多数学生并不理解“假设法”.今不揣冒昧提出来，并探究其原因，以此就教于同行和专家学者.

一、用“假设法”解“鸡兔同笼”问题时暴露出的问题与疑惑

一是，学生不知道怎样假设，甚至对教师做出“假设全是鸡（兔）”感到不可思议，往往纠结于全是鸡（兔）还是鸡兔同笼吗？二是，有的学生虽然能仿照教师的解法做出假设，但不清楚为什么这样假设；三是，有的学生做出假设后不知道如何处理，就是会做的学生也只是机械地套模式，说不出为什么这样处理.

笔者认真研究了涉及“鸡兔同笼”问题“假设法”的诸多文献，发现这三个问题都是对“假设法”的理解存在不足造成的，故对其作一探讨.

二、有关文献中“假设法”的含义及存在的问题

（一）有关文献中“假设法”的含义

在诸多文献中，明确给出“假设法”含义的并不多.笔者查到的最为全面的表述是：“假设法就是先假设全都是鸡（或兔），然后根据由假设得到的腿数与实际腿数的差，就能求出兔（或鸡）的只数.”文中还就“假设全是鸡”的情况进行了举例说明.但结合诸文献有关例题解法的过程来看，人们对“假设法”的表述与应用与该文献的界定类似.为方便，我们把该文献对“假设法”的界定称为“习惯性界定”，也把其中的例题呈现于下，作为本文的例题.

例1鸡兔同笼，有12个头，30条腿.鸡、兔各几只？

（二）“假设法”的“习惯性界定”存在的问题

1.假设不明确

“全都是鸡（或兔）”指的是鸡（兔）的全部头，还是全部腿？从该文献的后续语言及给出的例题解法可推知，应是指全部头都是鸡（兔）的头.当然，也可以指只数，不少文献中也确实明确指出了是只数.可例题没有只数这个已知条件.当然，鸡、兔头数与只数一一对应，知道多少个头就知道有多少只，但这样理解便导致了以下两个问题.

首先，限制了“鸡兔同笼”问题模型的应用范围.

例2一辆三轮车拉2吨货，一辆四轮车可拉4吨货.这两种车若干辆，共有36个车轮，拉了32吨货.问两种车各多少辆？

这个问题也属于“鸡兔同笼”问题.不妨把车轮数当成腿数，拉货吨数当成头数（反之亦可），这样可把三轮车当成2个头3条腿的“怪鸡”，把四轮车当成4个头4条腿的“怪兔”，用“假设法”可给出如下解法.

解假设32吨货都是三轮车拉的，则有32÷2=16（辆）三轮车，有3×16=48（个）车轮，比实际车轮多48-36=12（个）.一辆四轮车拉的货可换成2辆三轮车的，车轮多3×2-4=2（个）车轮，需要把12÷2=6（辆）四轮车换成三轮车，所以四轮车有6辆.从而，三轮车有（36-4×6）÷3=4（辆）.

由此可见，倘若“假设全都是鸡（或兔）”是指总只数，该例就不能用“假设法”来解了，限制了该问题模型的应用范围.

其次，限制了学生的思路，影响学生发散思维能力的发展.

若“假设全是鸡（兔）”是指总只数，则根据假设，应该给学生留下两个思考的方向.

其一，根据由假设得到的腿数与实际腿数之差，求出兔（或鸡）的只数.此思路是很多文献中的思路，不再赘述与举例.

其二，根据由假设得到的头数与实际头数之差，求出兔（或鸡）的只数.可这与“惯性界定”的方向不符.难道此方向行不通？不然.下面，以例1为例给出按此方向进行思考的两种解法.

解1假设全是鸡，则有30÷2=15（个）头，比实际多的15-12=3（个）头就是兔子头.因为，每只兔子4条腿，被算成了4÷2=2（个）头，多算了一个头.所以，兔有3只，鸡有12-3=9（只）.

若只写算式30÷2-12=3（只），12-3=9（只）.这正好是《孙子算经》中给出的方法，多简单啊！

由上可知，应用“假设法”讲解“鸡兔同笼”问题时，假设最好明确说明“全部头（腿）都是鸡（兔）的头（腿）”，这样可扩大“鸡兔同笼”问题模型的应用范围.在头与只数一一对应的情况下，假设如不区分头和腿，默认代表只数，也应引导学生从上述两方向进行思考，以促进学生发散思维能力的发展.

2.“假设全是鸡（兔）”不符合学生的认知特征

上面提到，不少学生对解“鸡兔同笼”问题时“假设全是鸡（兔）”感到不可理解.事实上，从生活角度讲，两种东西混在一起，恐怕没有人会做出全是某一种东西的初步判断，不然，必会成为笑话.因这违背了人们生活化的常规思维，不符合学生的认知特征.所以，學生说出“明明有鸡有兔，偏偏假设全是鸡（兔）.郁闷啊”的话就理所当然了，这是其心情无奈与不解的体现.

三、“假设法”的实质

之所以出现上述问题，笔者反复研究了诸多资料，发现其重要原因是对“假设法”理解的偏颇造成的.其实，无论是哲学方法论中，还是《现代汉语词典》中都没有“假设法”，它主要出现在中小学教学研究类文章中.但关于“假设”一词，词典和哲学上都认为“假设”是以事实或科学理论为依据，在观察和分析的基础上，对客观事物做出的推测性（假定）说明或预见，即猜想.其科学性有待于实践检验和科学论证，必要时还得进行调整，使其符合实际情况或已知条件.由此看来，平时人们所说的“假设法”，其实质应是：根据已知条件，先推测与估计，提出猜想，做出假设，验证假设，进行调整直至符合已知条件的过程.

基于此，教师教学“鸡兔同笼”问题时，若引导学生根据题目的条件，在自己思考的基础上做出初步的估计或猜测，做出假设，再进行验证与调整，直至符合题目的条件，不仅符合学生的认知特征，所存在的问题也会迎刃而解了.

事实上，假设题目范围内合理的头（腿）数为鸡（兔）的头（腿）更合情理.就本文中的例1而言，可以假设0～12之间的任意一个整数为鸡（兔）的头数或只数；也可假设0～30之间的任意一个整数为鸡（兔）的腿数（假设0～30之间的任意一个2的倍数为鸡的腿数或4的倍数为兔的腿数更方便）.而“假设全部头（腿）数为鸡（兔）的头（腿）”只是上述合理假设的特殊情况，这可通过让学生比较不同假设获得的解题过程简单与否，进而优化解题过程来获得.

下面，仍以例1为例，给出两个解法进行说明.

解2假设有7个鸡头，则有12-7=5个兔头，共有腿2×7+4×5=34（条）腿，比实际多34-30=4（条）腿.一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，所以，多假设了4÷2=2（只）兔，故兔有5-2=3（只），鸡有12-3=9（只）.

解3假设有8条兔腿，则有30-8=22条鸡腿，共有腿22÷2+8÷4=13（个）头.比实际多13-12=1（个）头.因一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，把一只兔当鸡来算就多算了一个头.所以，少假设了4×1=4（条）兔腿，故兔有（8+4）÷4=3（只），鸡有12-3=9（只）.

需特别指出的是：有的学生一旦给出假设，可能碰巧直接给出问题的答案.

这有可能是学生进行分析与估计的结果，也有直观猜测的可能.倘若真的出现这种解法，也未尝不可，只要验证无误就行.有的教师对这样的解法可能不给学生分，其实是受假设全是鸡（兔）习惯的束缚，以及没有真正把握假设的实质造成的.

笔者认为，让学生体验解“鸡兔同笼”问题时，先推测、估计—提出猜想—做出假设—验证假设—调整直至符合已知条件的过程，不仅能促进学生思维能力、创新能力的发展，还体现了学生为主体的教育理念，以及教师疏而不堵、放而不散的主导价值.管窥之见，请予斧正为盼！