案例教学在微积分课程设计中的运用和探究

秦健秋+方国敏

摘要：本文就案例教学思想在微积分课程中的实践进行了探究和总结。实践表明，该教学思想的合理运用对提高学生的学习积极性，提高其探索质疑、推广创新的精神，培养其搜集资料、自主学习的实践能力有极大的促进作用。

关键词：微积分；教学改革；教学方法；教学设计；案例教学

中图分类号：G642.4；O172 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）11-0195-02

微积分作为经管类专业的核心公共课程，对该课程的要求不能停留在仅讲授教学大纲的规定知识点，还必须从根本上提高学生的学习积极性，培养学生的学习能力、实践能力和数学思维能力。考虑到微积分目前的教学现状，我所在的教学团队采取了案例教学法。

一、案例教学的必要性

通过对普通本科经管类专业学生进行的调研表明，同学们的数学基础普遍薄弱，只有少部分同学认同“数学有用性”却苦于难以举例，这样的结果让每一位数学老师感到无比尴尬。学习效率低，缺乏归纳意识和扩展意识，难以抓住问题的本质，缺乏将数学用于实践的思想和能力，缺少学习积极性甚至是畏惧学习等等，这些都是目前普通高校经管类专业学生学习大学数学的普遍问题。

本教学团队提出案例教学法，利用大量与生活息息相关的案例来推动课程教学，希望以此调动学生的学习积极性，着重培养学生应用数学的意识，增强学生的理性思维，提高学生的数学应用和知识迁移能力。

二、案例教学实施的原则和前提

案例教学法并不是将大量案例简单放置在课程教学中，而是一种教学理念。该理念的实施首先要求授课老师具备相关能力，在掌握和了解大量典型案例的基础上，具备对问题有质疑探究、交流合作、创新反思、知识迁移、自主学习的能力，并且能将以上能力通过课程教学展现给学生，使其潜移默化地在各方面得到提高。

三、案例设计及选讲

1.极限案例设计及选讲。函数的极限是整个微积分理论的基础，后续的知识点都需要用到极限的定义，因此要求学生对函数极限有着深刻的认识，并能利用这一认知去思考和解决问题。

案例1.1保险推销策略

案例描述：各类保险产品在推销时，总是拿自身的亮点来PK其他产品。某产品的亮点是：本产品按月分红并计复利，而其他产品往往是按季度或是按年度分红再计复利。保险经理不停的对客户强调：“你的红利每月都在收益新利息，那样利滚利，一年下来，你自己算算，这样会比其他产品高出多少收益啊！”那么，营销员的三寸不烂之舌是否会打动你的心呢？

通过对连续复利案例的分析发现：该亮点其实是个鸡肋。以本金10万元，年利率5%为例，每年按月结息仅比按年结息多出约100元，仅是本金的0.1%而已，该亮点并不能成为你选择该产品的主因。保险经理的鼓吹是营销手段，经理让客户自己算算，客户千万要算算，在生活中保持理性思维是非常有必要的。该组案例的设计目的在于培养学生的知识迁移能力，用理性思维去指导生活。

2.微分方程案例设计及选讲。微分方程案例主要选用了两大类，一类是变量跟随时间而变化，例如谋杀时间推测、人口模型、名画年代鉴定、传染病模型、细菌增长等问题；另一类是变量跟随坐标角度而变化，例如导弹追踪、横渡长江等问题。

案例2.1谋杀时间推测

问题描述：若谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降。假设两小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律。

案例结束后，先总结此类问题的要点——物体温度随着时间发生变化。再引导学生发现类似问题，例如车间通风、积雪融化等。最后就原案例抛出相关疑问：若答案为早上7点半为死亡时间，且嫌疑人作案时间为早上7点，能否排除他的嫌疑，借此引导学生进行误差分析。若环境温度是当天的实时温度，即室温也是时间的函数，则应如何改进该模型？

案例扩展：针对学生课间吃早餐的事件，老师提出问题：请参考谋杀时间推测案例建立模型推测你的早餐是几点制作的？请参照细菌繁殖案例预测目前该早餐中的细菌总量？在教学中时刻把握机会引导学生思考问题、推广问题和解决问题。

3.多元函数积分案例设计及选讲。在讲授二重积分期间正值日本阿苏山火山遇到强烈地震再次喷发[5]，地震还可能导致山体塌方等并形成堰塞湖，因此授课老师根据实事设计了案例3.1和3.2，立刻牢牢抓住了学生的眼球和探知欲望。

案例3.1火山体积

问题描述：某火山的形状可以用曲面

z=he■（z>0）来表示，求火山体积。

对火山形状分析，将其底面看成无限大的圆，利用了广义极坐标的计算，可得其体积。提出疑问：为什么火山喷发后往往形状不会改变，一般是小号变大号？

案例3.2湖水体积

问题描述：椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好近似。若湖的最大水深为hmax，且椭球正弦曲面函数为f（x，y）=-hmaxcos（■■），求湖水体积V以及平均水深h？

引入二重积分换元法，利用椭球坐标可得V≈1.4535abhmax，h≈0.463hmax。提出调研数据：通过对全世界107个湖泊的研究结果表明，湖水的平均深度与最大深度的比值的平均值為0.467，非常接近计算值0.463。然后提到2008年地震时在震区形成多个堰塞湖，为当地构成二次威胁，在时间紧迫条件有限的情况下，快速估算各堰塞湖的水量为制定减灾方案提供支撑是非常必要的。

两个案例结束后提出共同问题：为什么同样是地球上的自然大型地貌，火山底面往往是圆形，而湖水表面往往是椭圆形呢？

案例3.1用到二重积分极坐标计算，属于大纲内容，讲授重点是分析火山形状，主要是其底面形状。而案例3.2利用椭圆坐标计算二重积分，不属于大纲内容，要求学生自主学习支撑材料，并将结论用于验证直角坐标对极坐标的转换。同时老师向学生提出还有很多其他的坐标系，不同的坐标系之间可以使用换元法进行转换，以此扩展学生思维。以上两个案例的渐次学习，拓展了学生对积分的认识，还展现了课程与实事相结合，与多学科相结合的应用。

四、案例教學总结及探究

实践表明案例教学法是一种新的教学理念，而不仅仅是几个应用题的解决和扩展，更重要的是授课老师必须转变观念、提高自我，让这种理念贯穿整个教学，并结合本专业学生的认知水平和专业知识特点，充分调动学生思维，做到让案例推动课程，将应用结合课程，让课程融入生活。

在对我校经管类专业进行了一学年的案例教学改革以后，通过学生的学习情况和调研结果可以看出，案例教学大大提高了学生的学习积极性、参与性，增强了学生的实践能力、数学思维能力和应用能力，取得了初步成功。在接下来的几年内，计划对该专业学生进行学习跟踪，考察教学改革后该课程对专业后续课程的支撑水平，对学生实践能力和理性思维能力的后续效用等等。

参考文献：

[1]朱志辉，张柳霞.将数学实验思想融入经管类专业微积分教学的实践研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015，12（12）：246-248.

[2]刘雄伟，李建平，王晓.基于问题式学习的高等数学教学模式研究与探索[J].高等理科教育，2013，5（111）：72-78.

[3]孙秀娟，王新霞，王春.高等数学案例教学法[J].高师理科学刊，2012，5（3）：88-90.

[4]朱捷，孙璐，杜红，冯玉铁.基于市场经济的视角谈《高等数学》课程案例式教学的研究[J].经济师，2014，（12）：254-255.

[5]陈卓，肖红.日本熊本16日再起7.3级强震阿苏火山小规模喷发[EB/OL].（2016-04-16）.http：//world.people.com.cn/n1/2016/0416/c1002-28280717.html.

The Application and Exploration of Case Teaching in Calculus Course Design

QIN Jian-qiu，FANG Guo-min

（Chengdu University of Information Technology，Collage of Applied Mathematics，Chengdu，Sichuan，610225，China）

Abstract：This essay explores and summarizes the practice of case teaching in the calculus course. Practice shows the application of case teaching can greatly help arouse the students' learning enthusiasm，and encourage students to explore，question，and innovate，and also，it can help improve their practical ability of collecting data as well as independent learning.

Key words：calculus；teaching reform；teaching method；teaching design；case teaching