整合 融通 建模

关劲文

[摘 要] 将孤立的知识点、技能点，重新编织成网，使题与题串联，知识点深化，并将各知识点中的信息准确地、简捷地进行交流、转化和重组，从而建立思维模型，理清基本思路及解题的应对策略。

[关键词] 整合；融通；建模

中考数学考什么，有课程标准；中考数学怎么考，有中考数学试卷。在这里，我们只关心中考数学复习怎么教——就是如何把中考数学的问题一节一节地落实到我们的复习过程当中。笔者认为中考数学复习课的目的就是要深化、综合、提高。怎样才能达到这个目的呢？这就需要我们细心地梳理专题，使知识能够整合、迁移，把知识间的纵横联系适度综合，當然也要优化习题设计，从而提高能力。具体来说，要提高复习课的学习效率和教学效益或教学效果，可抓住三个关键点——整合、融通、建模。

一、中考数学复习要注重整合

整合是将孤立的知识点、技能点，重新编织成网。

笔者认为，复习绝不是重来一遍。而是将知识点整合，在旧中有新，让学生感受到每一节复习课都是有新意的，绝不是他想象的那样：你已经会了。哪个层次的学生都是这样，他来的时候是有困惑的，走的时候原来的困惑解决了，又有了新的困惑，把所学内容的重点，学生学习的难点，包括考试内容的富矿面，包括学生在复习阶段知识能力的滑坡点，以及学科成绩的提升点，重新链接——以新的线索把它链接起来。

波利亚的《怎样解题》里面有一句话：最糟糕的老师，让学生听起来数学课就是每一课是每一课，每一节是每一节，每一题是每一题，没有任何联系；高明的数学老师会让数学和生活发生联系，让这一节的知识只是和上一节的知识发生联系。一旦联系起来了，那么就简单了。比如面积的求法，要加以总结的话，很简单，无外乎就是哪几种——这里笔者举一个微课的例子来说明。课题名称：注重数学思想，巧求阴影面积。

题目1：如图1，在大圆O与小圆O1相切于C点，大圆半径与小圆半径相切于F点，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。

其实阴影面积分两类：一类是规则的，所谓规则就是学生熟识的，有公式计算的。第二类是不规则的，就是没有公式直接计算的。由于阴影面积不规则，那么方法有三种。

第一种是运用转化的思想求解，就是化为学生熟识的。比如题目1中的这个图形可运用平移，转化为两个同心半圆的问题——这样原来不熟识的阴影部分就变成了学生非常熟识的一个图形，然后利用垂径定理来求得圆环的面积，这样就显得非常简单。

第二种方法是运用方程的思

想求解。

题目2：如图2，正方形的边长为a，以个边长为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。

虽然这个花瓣阴影部分的面积是不规则的，如果用转化的方法也能求得正确答案，但是更好的办法，笔者认为是用方程的思想。

第三种方法是运用整体思想求解。

题目3：如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都为0.5cm，求图中的三个扇形阴影的面积之和。

我们可以通过旋转和平移，把这三个扇形“挪”在一起，这样三个扇形就组合成了一个半圆了，从而求解。

笔者认为，求阴影部分的面积可归结为四种方法。第一种，利用公式直接计算；第二种，转化思想，利用平移、旋转进行计算——就是把不会的变成会的，把未知的变成已知的；第三种，巧设未知数，利用方程思想求阴影部分的面积——这就是数形结合最完美的时刻，也是代数与几何融为一体的一个关键；第四种方法：整体思想——纵观全局进行整体计算。

把以上四种方法教给学生后，学生将受益无穷——我们不用再做那么多题了！所有题都考不出这四种方法之外。

从以上微课的例子可以看出，整合就是要题从教材当中，从习题编制的共性和解题的相识点中，从题与题方法之间，能够串联，使很多知识点可以深化、结合。换句话说，我们要从杂乱无章的习题中，概括出一般的原理来，只有这样，才能迁移和应用。要想“举一反三”，前提是“举三反一”。

二、中考数学复习要注重融通

数学这门学科，它的知识是链条化的，环环相扣，不断延伸。知识之间就像藤蔓一样，盘根错节，你中有我，我中有你，不断发展。所以说，数学是一门关系学。比如：方程与不等式解扯上关系，与函数又有关系……如果我们把这个都研究透了，内化成了自己的东西，然后交给学生，学生就不用死记硬背。

当知识越来越丰富时，联系就越来越复杂。新知识不但丰富了原有的知识，新知识在沿袭原有知识的一些特殊同时，又会发生重要变化。

例如，相似三角形和全等三角形，全等三角形是相似三角形的特殊情况——先接触特殊，再去弄清一般，掌握这一根链条，学生学起来就会轻松一些。把一个知识点及其中的信息准确、简捷地进行交流、传输、转化和重组，学生学起来就觉得有味。

复习课要融通，就是将各知识点及其中的信息准确地、简捷地进行交流、传输、转化和重组。融通要做到两个方面：第一是讲解与训练，就是讲练结合，理顺所学知识点，理顺解题方法，理清解题规律；第二是把课内与课外融通，对于教材和试卷，教材和试题之间要搭建桥梁。我们的本和根都在教材，其他都是枝叶。

题目（1），如图4，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形的面积是△ABC的面积的。

题目（2），如图5，若∠DOE保持1200角度不变，求证：当∠DOE绕着点O旋转时，由半径OE、OD和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

其实这样的题目，如果我们平时给学生灌输好数学习惯——搞特殊，问题就迎刃而解。特殊情况是：一般情况下图形的位置发生变化，结论有时候不变，有时候是有规律地变化。

这道题在复习的时候，笔者将其丰富了：

（1）将正三角形换成圆内接正方形，其他的条件不变。

（2）换成圆内接正五边形。

（3）换圆内接正六边形。

最后，扩展为圆内接正n边形。里面的阴影部分的面积与这个正多边形的面积的关系也跟着有规律地变化——和边长有关系。

三、中考数学复习要渗透建模思想

建模思想是数学科中非常重要的思想。在复习课中如何建模？这里谈两个方面，第一个是要有思维模型，就是学生遇到这样的问题，要有基本思路和应对策略。要让学生的思维要有落脚点，有出发点也要有落脚点，知道他的思维落到何处去。第二个是要有答案模型。就是老师为什么要在黑板上示范呢？更多时候是给学生示范答案模型——这一类问题，就是这样解决的。因此，我们要优化讲课的模式。在复习课当中，内容要全，当然不是指面面俱到。这里说的是知识点，思想方法，包括规律，这些每节课都要揭示出来，时间要足（学生训练时间要足），解题方法要灵活。反对三点：（1）蜻蜓点水式讲评；（2）就题论题式讲评；（3）面面俱到式讲评。

例如：解直角三角形这一章的复习，归根到底，就是要揭示它的模型和方法。

例如：图6，在ABC中，∠A=30゜，tanB=，AC=2，求AB。

学生在复习课堂上，出现的第一类错误：有的学生想当然的∠C=90゜；第二类错误：认为tanB=是错误的。教师请学生来说，问题在哪里？他是怎么做的。多数学生回答说，题目中没有直角，所以要作垂线，教师鼓励他想法很好，你是怎么做的呢？他说过点C作高。教师追问，为什么选C呢？过点A作高，过点B也可以呀，他就回答不出来了。教师又问：其他同学是不是过点C作高？做出来的同学都是选过点C作高，教师问他为什么过点C作高？学生回答说AB水平，教师说，你可以把作业本转一下，那样做行不行？大家一致认为：可以。这就出问题了。教师说：不行！理由是过点A作高，把已知∠A=30゜的条件破坏了，过点B作高，也把条件tanB=破坏了，学生才恍然大悟，他们知道了为什么要作垂线，目的就是要构造直角三角形。为什么要构造直角三角形，因为在题目中，30゜这个条件经常会和直角三角形联系，尤其是∠B的正切，它出现的前提条件，背景必须是直角三角形，所以我们要这样做，而且为什么过C点作，已经说清楚了。这样就引导学生观察求AB，AB由于过点C的垂线分成了AD、DB两段了，是两条线段的和，同时AD和BD是极为特殊的线段，因为它们都在直角三角形中——转化为解直角三角形，所以这个问题可以解决了。学生把这道题解完后，觉得很满足。因为平时作业没有这样做过。

总之，在中考数学复习中，教师要關注学生的薄弱在哪里，不光是知识上的欠缺，还有解释模块上的一些薄弱点，包括思维方式上的习惯错误，整个解决应用问题一些错误的定势，我们都要把它牢牢地掌握。将那些若明若暗的知识、若断若续的线索、若即若离的知识，用一条明线串起来。那些五花八门、错综复杂的题目，是做不完的——但我们可用一条暗线贯穿其中，那就是思想和方法。所以说：中考数学复习课大有作为。

[参 考 文 献]

[1]刘案清.如何让中考专题复习更“专”[J].中国数学教育，2015（05）.

[2]陈红云.初中数学培养学生“自主”学习能力初探[J].课程教材教学研究，2014（04）.

[3]翟友勇.重视解题后反思，让思维继续飞翔[J].初中数学教与学，2015（10）.

（责任编辑：张华伟）