电磁场课程设计中WLP—FDTD算法探索

陈伟军++刘如军

摘 要

时域有限差分法是电磁场与电磁波中最经典的一种数值仿真方法，应用该方法对电磁场的分布和电磁波的传输进行计算和仿真，使得抽象的概念直观化，有助于学生对电磁场与电磁波教學内容的学习。本文介绍一种无条件稳定的快速时域方法-基于Laguerre多项式的时域有限差分方法，该方法没有时间稳定性条件的限制，特别适合于计算包含有多尺度复杂结构的电磁特性问题。

【关键词】多尺度 电磁场 加权Laguerre多项式 时域有限差分法 无条件稳定

电磁场与电磁波是电子信息类专业本科生必修的一门专业基础课，该课程比较抽象、难以理解，并包含大量复杂的数学公式推导，尤为复杂的是电磁场的数值计算问题。本科教学中常介绍的电磁场数值计算方法有矩量法、有限元法和有限差分法。

随着计算电磁学的快速发展，许多新的数值计算方法涌现，为本科阶段电磁场数值计算的教学带来了较大的挑战。本文介绍计算电磁学领域中一种新的无条件稳定的快速时域数值计算方法——基于加权Laguerre多项式（weighted Laguerre polynomials， WLPs）的时域有限差分（finite-difference time-domain， FDTD）方法——的基本原理及应用。把该方法引入到电磁场课程设计中，丰富和发展了学生对电磁场知识的理解，能有效提高学生的能力水平。

1 WLP-FDTD算法的公式体系

利用加权Laguerre多项式作为时域基函数展开电场分量和磁场分量，代入时域Maxwell旋度方程中，在空间域实行二阶精度的中心差分，在时间域采用Galerkin方法，并利用加权Laguerre多项式的正交性消除时间变量，可以得到WLP-FDTD算法的计算公式。为了较简单的把WLP-FDTD算法的公式体系表达清楚，一维简单、无耗、均匀媒质中，TEM波的时域Maxwell方程表示为：

其中，ε表示介电常数，μ表示磁导率。使用加权Laguerre多项式作为时域基函数，式（1）和（2）中的电场和磁场分量可以展开为：这样，原本是与时间和空间有关的电磁场分量变换成在与时间有关的函数和与空间有关的函数的乘积，有效地实现了时间和空间地分离 。电场和磁场分量对时间的一阶偏导数为

把式（3）-（6）代入式（1）和（2）中，并在两边同时乘以权函数，并在区间积分，可以得到

其中，，Tf为激励源时域波形可持续的时间。按照Yee网格划分把式（7）和（8）离散化，并整理后得到

其中，Δzk表示电场或磁场沿z分量所处网格的边的长度，一维TEM波的电磁场分布如图1所示。

式（9）和（10）中不包含时间变量，电场和磁场变量之间是隐式关系。为了消除磁场分量，将式（10）代入式（9）中，可以得到

其中a=εμs2。仔细观察式（11），可以发现每一个电场分量与其邻近的2个电场分量有关并构成隐式关系，如图1所示。同时，等式左边的电场分量都是q阶的，而等式右边除了激励源是q阶的以外，电场和磁场分量都小于q阶。可以把式（11）写成矩阵方程的形式

其中，{Eq}={Eay}T，{Jq}={Jay}T，{βq-1}是与电场和磁场有关的0阶到q-1阶所有项的求和。WLP-FDTD算法中电场变量之间是成隐式关系的，并产生了一个大型稀疏系数矩阵[A]。这个系数矩阵[A]与加权Laguerre多项式的阶数无关，故矩阵方程（12）的求解可以仅对系数矩阵[A]只进行一次求逆或通过LU分解，然后按阶数步进求解。

通过按照阶数步进求解矩阵方程式（12），每一阶时域基函数的系数可以计算出来，即电场和磁场的展开系数。从式（3）和（4）可以得到时域电场和磁场分量的数值解

其中，N表示准确表征电场和磁场所需要的阶数。

2 阶数N选取的方法

假设实际信号在频域上的频带宽是B、时域信号的持续时间是Tf，时域信号P（t）可以通过傅里叶级数表示

其中，ω0=2π/Tf。由于P（t）是实数，，*表示共轭转置。如果P（t）的频域带宽是B Hz，u的值可以表示为：

因此，可以得到

在式（17）中，P（t）的展开系数有2BTf+1项。这样，选取加权时域基函数的最大阶数可以是：

即，为了完整精确地表征时域信号P（t），加权Laguerre多项式的阶数至少要有2BTf+1阶。

在时域计算电磁特性问题时一般采用调制高斯脉冲，其表达式是

其中，，。若取fc= 5×1010Hz，Tf=4×10-9s，则式（19）所表示的时域波形的频域带宽可以由傅里叶变换得到B= 5×1010Hz。根据（18）可以计算出NL=41。

3 仿真实例

在这里，采用WLP-FDTD算法模拟计算电磁波的传播。传播距离为4m，传播时间Tf =3ns。整个计算区域划分为400个网格，每个网格的长度是0.25cm。采用正弦调制高斯脉冲作为入射电流激励源，其表达式与式（27）相同。其中，Td=1/（2fc），Tc=3Td。我们选择fc=1GHz，Tf=3ns，时间尺度因子s=3.7699×1010，步进阶数N=36。

图2表示分别在源点、距源点5cm处和距源点12.5cm的时域波形。从图中可以看出，电磁波在传播的过程中波形保持一致。

4 结束语

本文所表达的方法作为一种新的无条件稳定的快速时域算法可以作为本科电磁场课程设计，能有效帮助学生充分理解电磁场，提高学生对电磁场的知识水平，并对帮助本科学生理解电磁场的数值计算具有一定的参考意义。

参考文献

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作者简介

陈伟军（1979-），男，湖南省益阳市人。博士学位。现为岭南师范学院信息科学与技术学院讲师。研究方向为计算电磁学。

作者单位

岭南师范学院信息科学与技术学院 广东省湛江市 524048