一道调研试题的研究

江苏省连云港市海庆中学 (222023) 杨廷军

一道调研试题的研究

江苏省连云港市海庆中学 (222023) 杨廷军

高考(模拟)试题的设计力求情境熟，入口多，方法灵活多样的特点，同时要求对数学知识的考查，既全面又突出重点.小题的设计以短、平、活为主，小题的解答以快、简、准为原则进行，能更好地体现学生对知识的掌握程度与学生的应试能力，因此小题也颇有探析的价值.本文以九月初南京市2017届高三年级学情调研卷的第13题为例进行解析.

1.题目

由于平面向量既具有几何特征，又具有代数特征，其各种运算既有几何意义，又具有代数意义，正因为如此，倍受高考(模拟)命题人的青睐.本题的命题意图是要求学生对向量这一基本工具能熟悉其运算.在解题时，要求学生通过对题目固有信息的准确提取，发掘有效的数据信息内涵，同时选择一种合理的解决方法.

2.题目的解答

解题是数学教学的一个重要环节，在解题中，如果能够进行多方位、多角度的探索，也能得出多种巧妙的解法.

解法1：根据题目的已知条件联想一般对于处理未知量的运算中，常将一些未知向量用已知向量进行表示，即运用平面向量的基本定理(基底)进行解决.

解法2：根据问题设计的背景为三角形，故可用解三角形中的余弦定理的思想进行解答.

图1

解法3：向量坐标运算是解决向量题目的有效手段，故可用建立直角坐标系进行求解.

点评：针对问题的不断深入思考，挖掘出一些不同的解题思路，使得问题变得更加明朗、清晰.本题的上述几种解法将小题解答技巧和向量的运算及解三角形彻底表现，体现了平面向量和正余弦定理、面积公式的知识工具性，尤其是向量的坐标化思想使得向量具有代数和几何的双重性，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法.还有课本上的一些重要结论和解题方法是不容忽视的.

3.变式与延伸

在寻求解法的同时，领略考题的本质，挖掘其深刻的内涵，作出一些必要的延伸，充分发挥试题的功能和作用.

4.反思

1．解题教学应以整合知识、发散思维和能力为目标

本文通过一题多解，整合了知识结构，深化了学生对求向量题的一些思路、方法的真正领会和理解，为学生从不同角度、不同层次思考问题提供了多维视角，使学生的思维在灵活性、广阔性、深刻性、创新性等方面得到了一定的锻炼，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.众所周知，学习数学的过程与数学解题紧密联系，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题数量.显然，分析和研究高考(模拟)试题的解题思路、探究解题过程是学生学会解题和掌握数学技能的有效途径，对发展学生的思维、提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益.因而，解题教学应以整合知识、发散思维和能力为目标，注重引导学生探究解题的方向和策略，帮助学生在解题过程中不断总结经验、积累解题的思维方法，对问题所涉及的知识点、数学思想和方法予以适当提炼，帮助学生构建知识网络，深化学生的理性认识，提高学生的思维水平.

2．解题教学应注重挖掘课本例题、习题和高考(模拟)题的潜在教学功能

本文通过一道高考调研试题的发散性思维训练，深入浅出地把求解向量题基本方法提炼出来，并进一步巩固了相关知识，深化了教材内容，达到了训练思想方法和技巧的目的.我们常常强调课本例题、习题和高考(模拟)题在高三复习教学中的地位和作用，认为它是高考命题组集体智慧的结晶和今后高考命题的生长点，那么具体怎样实施教学才算抓住了教材，以至于能活用教材？这是一个永恒的话题.我们也知道：每年有许多高考试题都源于课本例题、习题和高考题；每次考试过后，总有学生埋怨自己没有重视课本，没有复习好课本和做好历年高考试题，也总有教师抱怨学生连课本习题和一些简单高考试题都不会做.那么，我们的教师是否应该反思我们的教学呢？

新课程倡导教师在教学时重视课程资源的开发与利用，教材是教师进行教学的主要课程资源，是学生智能的生长点，是高考命题的重要依据.课本例题、习题和高考题简明扼要、难度适当、编排合理，它们在知识上具有典型性，在方法上具有示范性.因此，只有教师在平常的教学中，认真钻研教材，研究高考试题，抓住课本中的经典例题和习题、历年高考题中的经典例子，精心设计课堂教学，注重对课本例题、习题和高考题的分析与研讨，在传授知识过程中充分挖掘课本例题、习题和高考题的潜在教学功能，做到以少胜多，举一反三，不仅可以巩固课堂所学基础知识，渗透思想方法和数学思维，还能激发学生学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路，扩大解题的“武器库”，这样才能有效地培养学生的数学能力，真正为学生减负.

3．解题教学应注重变式教学，努力构建动态教学

传统的解题教学，一般都是教师讲，学生被动地听.这种被动的学习方式扼杀了学生思维的积极性和主动性，难以焕发出思维的活力，更谈不上学生积极参与.本文的一题多解，教师并不是硬塞给学生的，也不是教师事先完全预设好然后强加给学生的，而是借助于课堂这个平台，师生互动，教师启发引导、学生积极参与分析和探究，在一个动态发展的过程中自然生成的产物.在这个过程中，教师的主导作用、学生的主体地位得到了充分的体现，更重要的是给了学生一个自由交流、积极探究的机会，一个体验数学发现与创造的成就感的机会.数学新课程倡导生态化教学的理念，要求用动态生成的观点看待数学教学，使数学教学在系统预设的基础上体现出灵活开放与动态生成相统一的特点，因而，数学解题教学应注重探究性教学，努力构建动态教学.在教师的指导下，在师生交往、积极互动、共同发展的过程中，分析解题思路，探究解决问题的方向和策略以及解题过程，探究问题的变式、延伸与拓展，积极进行解题反思，在一个动态发展的过程中使学生达到对认知过程和结果的最优化，促进学生和谐、自主地发展，从而培养学生的创新思维.