初中生数学学习中抽象思维能力的培养——以函数概念教学为例

戴 旭

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

初中生数学学习中抽象思维能力的培养
——以函数概念教学为例

戴 旭

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

数学抽象思维能力是数学学习的基础，数学概念教学是培养数学抽象思维能力的重点。八年级是学生形象思维能力与抽象思维能力的过渡阶段，函数概念教学是初中教师需要关注的教学重点，也是培养学生抽象思维能力的最好时机。

抽象思维；函数概念；函数教学；思维能力；培养

初中生在对知识的理解方面大多数是接近本质的或者可以作出自己理解的一些解释。他们往往可以将之前学过的具体实例抽象成可以用数学语言来描述的问题。八年级以后可以很好地掌握一些抽象概念的本质属性，也就是说在知识理解以及教学的过程中，需要更加恰当地发展学生的抽象思维，为以后的学习奠定坚实的基础。抽象思维就是让学生学会将感性认识上升到理性认识，通过具体实例的抽象概括过程。

概念教学是数学知识的细胞，也是初中学生在学习数学中赖以思维的基础。本文以“函数”概念教学为例，说明在抽象思维能力培养过程中采取的方式以及需要注意的问题。

一、概念教学中的抽象思维能力培养

概念教学是一种教学类型，教师在教学中常常机械地灌输给学生概念的定义，让学生直接背下来，这让学生在接受知识时，客观地知道知识的存在，却没有理解知识的来源，而且学生的思维培养在概念教学中更加重要。首先，初中生对数学概念的深刻理解具有惰性、连续性、顺序性和迟缓性，这就需要教师对学生进行思维的引导。其次，初中生对数学概念的深刻理解主要是和上位概念、上上位概念联系，然后再联系到上位概念相关概念的下位概念，从而形成一个多次归纳总结的过程，这样与之前所学知识进行联系时，就需要着重培养学生对已有知识转化的认识。

在概念教学中,仍然存在很多问题。教师过度地追求独特的教学方式而忽略学生数学基础的掌握。思维能力在数学中是一种抽象性很强的能力，一些教师为了训练学生的思维能力，过度重视不同的解决问题模式而忽略方法的归纳与总结。学生思维能力中的抽象思维就是要让学生通过大量的实际例子来形成自己思维中可以调动的知识。要知道抽象并不等于凭空想象，现实中的具体实例就是过渡到抽象概念的一个必经之路。也就是说，概念教学中应该着重培养学生的抽象思维能力。

二、函数概念教学中知识性的抽象思维能力培养

小学生的知识储备很少，所以需要运用具体形象思维进行教学。但在初中数学教学中要把握好运用形象思维与抽象思维的度，从数学学科特点来看，在初中阶段最终还是要培养学生的抽象思维能力。

把“函数”(北师大版数学八年级上册第四章第一节)作为函数学习的开头，是因为学生在七年级下册第四章已经学习了“变量之间的关系”，对于变量间互相依存的关系有了一定的认识，但是对于变量间的变化规律尚不明确。如何在思维方面提高学生对于函数概念的理解并用这些抽象的概念去理解现实中的实例呢？这也是本节课的重点。

教材中因为在七年级下册“变量之间的关系”一章中，学生接触了大量的生活实例，体会了变量之间的相互依赖关系的普遍性，感受了学习变量关系的必要性，也初步具备了一定的识图能力和主动参与、合作的意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。在教材编写中，开篇以生活实例：

(1)提问学生在游乐场是否坐过摩天轮？并且给出摩天轮离地高度与旋转时间的图像，填写表格来观察变量之间的变化规律。

(2)生活中罐头盒等圆柱形的物体摆放形式，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写表格来观察变量之间的变化规律。

(3)通过热力学的温度与摄氏度之间的关系，填写表格观察变量间的变化规律。

教科书中设计了游乐园中的摩天轮、圆柱形物体的堆放方式和热力学温度与摄氏温度之间的关系等几个现实生活中的函数原型，也就是教学中关注了原型的多样性。在教学之前设立的知识技能目标中就强调了知识要注重发展学生的抽象思维。同时对于函数这一知识而言，让学生除了感受原型的多样性，也要感受函数表达方式的多样性，否则学生就会在单一的函数表示方式下，很容易将单一的表达方式作为函数的本质属性，形成对函数的片面理解，所以在教科书中的素材实例分别以图像、表格、表达式三种形式呈现了几个与生活相关的情境，这样使得实例描绘出来的函数原型更利于学生的理解，且将理解函数概念的这一难点分解。教师用不同形式来表示使例子更加形象，这样会减小学生的思维难度，在此基础上来抽象出函数的概念，可以有效地培养一部分理解能力较差学生的抽象思维能力。

通过这样的实际例子对学生的思维进行培养，可以降低本节课的教学难度。教师教学方式中存在一个误区，大多数教师有共同的特征就是根据自己的经验形成某些结论，这就是常见的习惯性思维。在函数概念知识的讲解中，有些教师会直接将概念灌输给学生，这种知识的灌输性教学方法是不能够复制的，它应付不了意想不到的新情况。

追求发展学生的抽象思维，但是不能全然否定与排斥接受式学习。教育心理学研究表明，接受学习并不一定是被动的，如举一反三、融会贯通、触类旁通就是能动地接受学习的写照。学习方式的被动或主动，关键不在于它是接受的或是发现的，而在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度。用生活实际的例子，让学生调动自己的思维对概念进行的抽象化过程，可以降低整个抽象思维形成过程的难度。不是给出三个实际例子就可以给出函数概念的定义，而是让学生经历了自己对问题的理解以及感受了函数定义形成的过程，思维里形成了变量之间的变化规律，才从本质上理解了函数的定义。

学生的思维是看不见摸不着的东西，尽管用一些实际例子可以让学生脑海里构建起一定的知识模型，但是如何在学生脑海里构建一定的支架使学生更好地分析这些实例是有一定难度的，所以要循序渐进地发展学生的抽象思维。

三、函数教学过程中的抽象思维能力培养

在函数教学过程中，要注重课前教案的设置复习引入环节，学生自主合作分析过程和总结定义过程。

首先，学生在七年级已经了解了变量间的依存关系，但是重点要掌握变量间的变化规律。在生活中创设情境复习变量的概念：我们生活在一个充满变化的世界里，以成长为例，随着时间的推移，我们的年龄增长了，身高、体重增加了，知识增多了。学生在八年级时，从字面理解变量的含义，也就是不断变化的量，但是函数概念却是很抽象的名词，教师需要讲解。

在创设情境的基础之上，可以给出问题:圆的面积S与半径r的关系是S=πr2和正方形的周长C与边长a的关系是C=4a，让学生判断出什么是变量，什么是常量，并且指出自变量与因变量，加强学生新旧知识的联系。教师通过几何画板，动态展示当半径和边长发生改变时，观察面积和周长的变化，让学生从直观角度去感受这些变化，激发学生的学习兴趣，让学生知道这些概念的实际意义。同时也复习了变化的量之间的依存关系。

以此为基础，可以给出教科书中游乐园的摩天轮、圆柱形物体的堆放方式和热力学温度与摄氏温度之间的关系等生活实例，观察图像和填写表格，用不同的表征方式让学生从数据上看到变化的量即变量之间的联系，也就是从对生活实例的感性认识转化到用数据去描绘的理性认识，这也是学生在思维上的转变，从不同角度去思考，教会学生怎样思维。同时对这三个生活实例也要多次地对学生进行循环提问，第二个环节由学生小组自主探索，让学生在不断地提问中理解与函数概念有关的定义，并且教师更容易突破本节课的难点。让学生通过这三个例子掌握这些变量之间的关系以及变化的规律，归纳出实例的共同特征：(1)在一个“变化”过程中；(2)存在两个变量；(3)给定其中一个变量(自变量)的值，相应地确定了另一个变量(因变量)的值，对于x的每一个值，变量都有唯一的值与它对应。由特殊到一般的数学思想使学生在自主学习中很好地发展抽象思维。

四、初中生抽象思维能力培养过程的反思

数学抽象思维的本质就是将具体的事物找到它们的共同之处，并且从表面特征来挖掘到具体事物的本质特征，由特殊到一般的思维处理过程。数学抽象思维方法就是对事物进行抽象简化的思维方法。教给学生知识，就要教给学生学会思考的方法。所以，要将接受式学习与自主式学习相结合，让学生在更好地学习知识的同时，掌握好的思考方法，抽象思维能力才会得以发展。

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999.

[2]林崇德.学习与发展[M].北京:北京师范大学出版社,2000:190.

[3]张本陆.谈初中数学教学中如何培养学生的抽象思维能力——以“变量与函数”的教学为例[J].数学教学通讯，2014(1):9—10.

〔责任编辑：钱晓玲〕

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.040

2016-10-26

戴旭(1992—)，女，辽宁朝阳人，从事学科教学(数学)研究。

G633.6

1008-6714(2017)01-0085-02