浅谈线性子空间的交与并

刘 敏

(忻州师范学院 五寨分院，山西 五寨 036200)

线性空间是高等代数里很重要的一章，线性子空间又是线性空间中一个重要概念。线性子空间中所涉及到的求W1∩W2，W1∪W2，W1+W2的基和维数是近年来高等代数和线性代数研究的主要对象。本文只对如果W1,W2是线性子空间，那么，W1∩W2，W1∪W2是否仍然是线性子空间做重要的阐述。

先给出线性子空间的定义：

设W是线性空间V的一个非空子集，P是数域，如果满足：

(1)任取α，β∈W，都有α+β∈W成立 (W对加封闭)

(2)任取α∈W，k∈P，都有kα∈W成立 (W对数乘封闭)

则称W是V的一个线性子空间 。

注：①证明W是线性子空间，就从W中取元素。

②取元素时要注意W中元素的性质。

③证明W是线性子空间的充要条件W是非空，且对加和数乘封闭。

④证明W不是线性子空间只需说明W是空集，或W对加不封闭或W对数乘不封闭即可〔1〕。

1 两个子空间之交是子空间

〔分析〕：要证明W1∩W2是线性子空间，先证明W1∩W2非空，然后从W1∩W2中任取两个元素，证明W1∩W2对加和数乘封闭即可。

例1：设W1，W2是V的线性子空间，P是数域，证明W1∩W2是V的线性子空间。

证明：因为W1，W2是线性子空间，则0∈W1，0∈W2，所以0∈W1∩W2，所以W1∩W2非空。任取α，β∈W1∩W2，K∈P，则有α，β∈W1，且α，β∈W2。

(1)当α，β∈W1时，因为W1是线性子空间，所以α+β∈W1，Kα∈W1

(2)当α，β∈W2时，因为W2是线性子空间， 所以α+β∈W2，Kα∈W2

∴α+β∈W1∩W2，Kα∈W1∩W2。

所以W1∩W2是V的子空间。

2 两个线性子空间之并不一定是线性子空间

〔分析〕：要证明W1∪W2不是线性子空间，只需证明W1∪W2非空,或者从W1∪W2中任取两个元素证明对加封闭、对数乘不封闭即可〔2〕。

例2：设W1，W2是V的子空间，P是数域，证明W1∪W2不一定是V的线性子空间。

证明：(1)当W1，W2中有一个是V的平凡子空间，即W1或W2是零空间或V本身，则W1∪W2是V的子空间

(2)W1⊆W2或W2⊆W1时，即W1∪W2=W2或W1∪W2=W1

又因W1,W2都是V的线性子空间，∴W1∪W2是V的子空间

(3)W1⊄W2且W2⊄W1时(下证W1∪W2不是V的线性子空间)

假设W1∪W2是子空间，W1⊄W2，则总存在α∈W2，但α∉W1，则α∈W1∪W2

W1⊄W1，则总存在β∈W1，但β∉W2，则β∈W1∪W2

由假设知W1∪W2是线性子空间 ∴α+β∈W1∩W2即∴α+β∈W1或α+β∈W2

当α+β∈W2时，α∈W2，W2是线性子空间，则β=(α+β)-α∈W2与β∉W2矛盾

当α+β∈W1时，β∈W1，W1是线性子空间，则α=(α+β)-β∈W1与α∉W1矛盾

∴假设不成立∴W1∪W2不是V的线性子空间。

下面通过举例来着重介绍一下为什么W1∪W2不一定是子空间。

〔反例1〕：对称矩阵的集合与反对称矩阵集合之并，不一定是Matn×n(P)的子空间。

证明：因为对称矩阵和反对称矩阵的集合都是非空的，并且对加和数乘封闭，所以它们都是线性子空间〔3〕。

设对称矩阵的集合是子空间W1，反对称矩阵的集合是子空间W2

任取A，B∈W1∪W2,K∈P

(1)当A∈W1，B∈W1时，此时W1∪W2是Matn×n(F)的线性子空间，这是因为W1∪W2对加和数乘封闭，即

(A+B)T=AT+BT=A+B ∴A+B∈W1，∴A+B∈W1∪W2

(KA)T=KTAT=KA ∴KA∈W1，∴KA+∈W1∪W2

(2)当A∈W2，B∈W2时，此时W1∪W2是Matn×n(F)的线性子空间，这是因为W1∪W2对加和数乘封闭，即

(A+B)T=-A-B=-(A+B) ∴A+B∈W2，∴A+B∈W1∪W2

(KA)T=KAT=-(KA) ∴KA∈W2，∴KA+∈W1∪W2

(3)当A∈W1，B∈W2时，此时W1∪W2不是Matn×n(F)的线性子空间，这是因为W1∪W2对加不封闭，即

(A+B)T=AT+BT=A-B ∴A+B∉W1，A+B∉W2∴A+B∉W1∪W2

(4)A∈W2，B∈W1时，此时W1∪W2不是Matn×n(F)的线性子空间，这是因为W1∪W2对加不封闭，即

(A+B)T=-AT+BT=-A+B ∴A+B∉W1，A+B∉W2∴A+B∉W1∪W2

〔反例2〕：是l1过原点的直线，l2是过原点与l1不重合的直线，则l1∪l2不是F2线性子空间。

证明：因为l1,l2是过原点的直线，所以它们都是F2的平凡子空间。

任取α∈l1，β∈l2，则α，β这两向量或者在直线l1上，或者在直线l2上。

也就是任取α，β∈l1∪l2，设α+β=γ，

由平行四边形法则知，γ既不在直l1线，也不在直线l2上 ∴α+β∉l1∪l2

所以l1∪l2不是F2的子空间。

特别地：l1可取x轴，l2可取y轴。

〔反例3〕：V1={(x,y,0)|x,y∈P},V2={(0,y,z)|y,z∈P}，但V1∪V2不是F3子空间。 证明：因为0∈V1,0∈V2所以，V1,V2非空,

又因V1,V2对加和数乘封闭， 所以V1,V2是F3线隆子空间。

任取α=(1，1，0)∈V1，β=(0，1，1)∈V2

则α，β要么属于V1，要么属于V2， 即α，β∈V1∪V2。

也就是任取α，β∈V1∪V2，

但α+β=(1，2，1)∉V1，且α+β=(1，2，1)∉V2，即α+β既不属于V1，也不属于V2，

∴α+β=(1，2，1)∉V1∪V2, 所以V1∪V2对加不封闭.

所以V1∪V2不是F3子空间。

〔1〕李师证.高等代数解题方法和与技巧〔M〕. 北京：高等教育出版社. 2004.

〔2〕毛纲源.经济数学解题方法技巧归纳 (第二版)〔M〕.武汉:华中科技大学出版社. 2000 .

〔3〕唐忠明，戴桂生.高等代数〔M〕. 南京: 南京大学出版社. 2000.