样例学习及其在高等数学教学中的应用探究——基于“慕课+翻转课堂”的视角

孙露，方辉平，刘植

（1.黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041；2.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009）

样例学习及其在高等数学教学中的应用探究
——基于“慕课+翻转课堂”的视角

孙露1，方辉平1，刘植2

（1.黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041；2.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009）

基于样例的内涵对高等数学课程中样例的类型以及样例学习的实质进行了剖析。以此为出发点，通过对样例学习和“慕课+翻转课堂”背景下的高等数学教学进行比较，对样例学习应用的可能性以及应用的资源与平台进行了梳理，并在此基础上提出了促进样例学习有效应用的教学原则与措施。

样例学习；高等数学教学；慕课+翻转课堂；应用

1 问题的提出

翻转课堂作为一种以学生为中心的教学模式，鼓励学生为自己的学习负责。两位翻转课堂先驱者乔纳森·伯格曼以及亚伦·萨姆的研究表明，基于此模式下学生对知识的理解更为深刻。随着教育信息化的推进以及“慕课”风暴对高等教育的影响，研究者们进一步将“慕课(MOOC)”与“翻转课堂”理念相联系，“形成了以微视频为载体的‘慕课+翻转课堂’的先学后教的”全新教学模式。[1]

高等数学作为大学阶段重要的基础课程之一，由于其抽象程度较高，且在课程教学中存在着内容多而课时较少以及大班授课等问题，常常导致课堂教学效率不高，具体表现为大多数学生在对知识的理解与把握上显得较为薄弱，做题时往往“依葫芦画瓢”，不能很好地将所学知识进行有效迁移。为了提高高等数学的教学效果和质量，帮助学生获得对知识更为深刻的理解，考虑到大学生课余时间较多且已具有较好的自主学习意识，近年来“慕课+翻转课堂”这一全新教学模式开始在高等数学教学中进行应用。这使得有关对此模式的设计与实践探讨成了进一步值得思考与探究的问题。

由于翻转课堂的指向在于“让学生自己对其学习负责”[2]，且在“先学”阶段需要学生通过对教材及微视频的学习完成相关进阶作业，这都对学生的自主学习方式提出了一定的要求。样例学习作为一种依靠阅读样例进行学习的自主性学习方式，在内涵与形式上与翻转课堂具有较多的相似性，且心理学研究结果表明“大多数学生倾向于通过考查样例来解决问题，而不是求助于规则”。[3]因而，在基于“慕课+翻转课堂”背景下的高等数学教学中可以有效地将其应用其中，促使这一全新教学模式更好地落实与开展。

2 样例学习的概述

为了更好地认识样例学习并将其有效地引入高校教学中去，需要对其关键词“样例”以及样例学习的内涵及其功能有较为清晰的认识。

2.1 样例的内涵与类型

教育心理学中将样例定义为“是一种能够例说或表征较为抽象的概念原理的相对具体的实体，能够展示同一类事物性质的样本，或值得模仿的榜样。”[4]简而言之，样例即是能够对较为抽象的概念、原理、性质、方法以及解决思路等进行解释与说明，且具有一定示范作用的例子。具体到数学学科，样例则是对某个数学概念、原理、公式的内涵与用法以及某个数学问题的解法、思路等进行说明和解释的具体数学范例。

基于内涵来看，样例的外延远要大于教材中常见的例题。在数学学科中可以依据样例的作用将其分为以下4种类型。

1.内涵型

此类型的样例即是用于对某个数学概念的内涵进行例释的例子。概念作为数学的基础，在高等数学中有着大量的数学概念。为了更好地帮助学生理解较为抽象的数学概念，教材中常使用一些样例对其进行例说。例如，在定义“原函数”之后给出了“例如，因，故是的一个原函数”这一具体样例用于进一步地对其内涵进行说明，帮助学生能够通过阅读此例子并利用先前所学的导数知识，在认识到函数与原函数间关系的基础上获得对原函数概念的理解。

2.性质型

性质型数学样例是用于例说某一数学知识性质的例子。性质作为事物的本质，能进一步表明事物间的内在关系。由于数与形及其之间的关系是数学的主要研究对象，因而在高等数学学习中需要学生对性质有较为深刻的理解。与内涵型类似，教材中也会辅以样例帮助学生更好地认识并把握数学对象间的关系。譬如，在对定积分的性质进行讨论时，教材在给出性质及其证明的同时也提供具体的几何图形进行例说，引导学生结合定积分的几何意义获得对性质的理解。

3.方法型

此种类型的样例主要是通过具体例子对某种数学方法如何运用进行例示。函数作为高等数学的主要研究对象，需要学生掌握有关其极限、导数、不定积分、定积分等计算问题。因而，在高等数学教学内容中计算占有较大的比重。教材在介绍计算方法时也常常结合具体的例子进行说明。例如，通过给出“直接利用代换把积分化为更简单的积分”对不定积分的“第二类换元法”做出更为具体的解释。

4.问题解决型

此类型即是通过具体的样例问题对问题的解决思路、方法与过程进行说明。由于样例问题包含了所需解决的问题以及具体的解答过程，可见教材中起到解题示范的“例题”正是此种类型样例最为常见的一种形式。高等数学中此类型的样例最多，往往在对性质、定理以及计算方法进行讨论后都会给出一系列例题对其具体应用进行例说，通过示范供学生能对相关的算法及其过程进行学习与模仿。

2.2 样例学习的实质与功能

样例学习“顾名思义，就是从样例中学习、通过样例来学习的一种学习方式。”[5]在此过程中学生通过对样例的阅读与思考，能够归纳出其中所蕴含的知识、技能以及解决问题的方法等，并对其进行掌握。从这一角度来看，样例学习其实质是一种建构主义学习。学生对样例进行阅读、分析、归纳的过程正是学生自主建构知识的过程，因为这需要学生对样例进行分析，并将其与所对应的抽象概念、性质、原理、方法等建立联系，通过对比发现样例中所蕴含的知识与方法，并将其主动内化，从而获得对概念、原理的内涵以及有关方法等较为深刻的认识。可见，样例作为样例学习的主要学习材料是其有效进行的物质基础，而在对样例研读的基础上主动构建知识则是样例学习的核心所在。

由于样例也具有样板的作用，能够为学生提供问题解决所需的知识、思路与方法。因而学生在进行练习活动时，会以样例作为示范，将所学的知识、解题方法以及规范进行尝试的应用，这不仅能对知识技能进行巩固，还能进一步学会将其进行迁移，即通过将所需解决的新问题与样例进行类比，从而寻找到解决的思路与方法。可见，样例学习能够促使迁移的产生，同时也反映出样例学习作为一种以学生为主体的学习，需要学习者积极地参与到学习过程之中。因为只有真正对样例中所蕴含的知识、原理、方法有了较为深刻的理解，才能将其进行有效迁移。

在样例学习过程中，由于学生会接触到一系列不同类型的样例，通过对其进行分析与学习能不断地归纳出新的知识与技能，并在内化中获得自身能力的提高。这也表明出样例学习还是一种自适应学习，即学生在这样的自我学习中，“系统在不断重复的工作中对自身能力的增强或改进，使得系统在下一次执行同样的或类似的任务时，比现在做的更好或效率更好。”[6]可见，学生在样例学习过程中不仅能利用样例获得蕴含其中的知识，而且还能够基于已有样例的学习经验提高学习的效率。

3 全新教学模式下高等数学样例学习的应用

样例学习不仅作为一种学习方式，也是一种必不可少的教学形式。在日常教学中，不论是教材或是教师都常常使用具体的例子对概念、公式、原理、方法等进行阐释。因而，教师可以基于样例以及样例学习的优势将其有效地融入教学之中。

3.1 样例学习应用的可能性

样例作为样例学习的主要学习材料，在高等数学教学中非常常见。例如，教师在对抽象的数学概念、性质进行讲解时，常常会结合具体的样例对其内涵进行说明；在介绍具体的计算方法时，也常常结合不同类型的例题对解题的思路以及方法的使用等进行阐述。对于学生而言，样例学习更多地发生在课后作业环节，他们会利用样例的示范性，对教材中所呈现的例题进行阅读并类推，学会如何使用公式以及了解算法的具体过程与步骤等。然而，通过对学生的调查情况来看，样例学习并没有真正地发挥其功效。学生在解题时更多地是将样例作为模仿的对象，仅是掌握了有关套用公式或是算法流程等表层知识，却并没能真正地对样例进行解读、认识并掌握其中所蕴含的更为深层次的原理、思想方法以及解题思路等。

不同于传统教学中学生们只需“坐着听课”等着教师告知他们所要学习的内容，基于“慕课+翻转课堂”背景下的高等数学课堂则强调以学生为中心。其“先学后教”的模式需要学生在课前对微视频学习的基础上能够掌握基本的知识和技能，而课堂的主要任务则是通过师生间的互动，解决学生学习的疑惑，对有关知识进行更深层次地挖掘与提高。由此可见，这需要学生具备一定的自主学习能力。样例学习作为一种重要的自主学习方式，需要学生主动建构对样例这一自主学习材料理解。而例题作为数学教学的重要组成部分，全新教学模式下的高等数学教学也不例外，在微视频以及教材中均存在大量的样例，而且“先学”阶段的关键也在于需要学生通过对微视频的观看掌握其中的知识。基于这一视角，样例学习与基于“慕课+翻转课堂”的高等数学教学在学习的内容与方式上均具有较高的吻合度。

3.2 样例学习应用的资源与平台

为了有效地将样例学习应用在教学中，首先需要对其应用的资源及其平台进行梳理和挖掘。结合样例学习的实质及其所需的素材，围绕“先学”与“后教”两个教学阶段寻找到以下4个方面。

1.微视频

微视频作为基于“慕课+翻转课堂”背景下高等数学教学在“先学”阶段的主要载体。由于碎片化是其主要特点，因而微视频中教师的讲授往往仅围绕一个知识点进行展开，且考虑到时间所限，视频中所讲授的内容更多地是需教师讲述才能理解的。因此，相关知识点不论是数学概念，还是数学公式、性质、原理或是方法，教师在讲授时为了帮助学生能比较直观地掌握与理解，都会结合具体的例子进行分析。可见，微视频为样例学习提供了一个很好的平台。

2.教材

虽然微视频是学生自主学习的主要学习材料，但基于微视频的特点学生通过阅读教材能够获得理解的内容并未包括其中。这意味着学生自主学习的材料除了微视频以外还包括教材这一重要的教学媒介。众所周知，高等数学具有较强的抽象性，这也使得在其教材中包含了大量的内涵、性质、方法以及问题解决型样例。因而，在样例学习的应用过程中需有效地把握教材这一丰富的样例资源。

3.进阶作业

为了了解学生对所学知识点的掌握情况，“先学”阶段在微视频学习后也为学生提供了一定数量的进阶作业。为了保证能够顺利地进阶，需要学生通过对微视频的观看以及教材的学习,掌握相关的知识，并在其中所呈现的样例启发下获得有关解决作业中相关问题的思路或方法。可见，进阶作业也为学生进行样例学习提供了生成的平台。而且练习与样例间存在着一定的关联，一旦练习完成，它同样既具有了详细的解答步骤也蕴含了相应的知识与方法，这使得已完成的练习也成为了学生可以进一步赖以学习的样例。

4.课堂教学

通过师生的共同探究对学生在“先学”阶段中没有弄懂的知识点以及进阶作业中所遇到的问题与疑惑进行解决是“后教”阶段课堂教学的主要任务。因而，在此过程中教师仍需进一步对知识点进行剖析，并再次结合进阶作业对有关的原理、思路与方法进行讲授。由前所述，在这一过程中自然少不了样例的参与，需要诸如内涵型、问题解决型等样例对概念的内涵或是解决问题的方法进行例说，帮助学生在对样例的考查中明晰概念，掌握其中所蕴含的思想方法。

3.3 促进样例学习应用的教学原则与措施

从以上4种应用的资源与平台可以看出，样例学习在微视频以及课堂教学中的应用更多是以教师讲授为主，即教师在讲授知识时有效地将样例融入其中，启发学生通过样例获得对知识的理解与把握，这需要教师根据所讲授的知识点选取恰当的样例；而对于教材与进阶作业，样例学习的应用虽然是以学生自主学习为主，但要促使学生能基于样例有效的开展学习，则需要教师做好样例的设计工作。而且“样例设计是否符合学习者的学习规律，都将影响学习者从样例中归纳抽象知识的程度。”[7]因而，为了促使样例学习能有效地融入教学并发挥其教育功效，教师需要基于样例学习的资源与平台对样例学习进行合理的设计与组织。

3.3.1 合理、系统地选取典型性样例

相关研究表明，样例学习“在认知技能获得的早期阶段起着重要的作用”。[8]因而，教师需要抓住这一关键时期，在对微视频这一最早向学生传递信息的重要载体进行设计时注重样例学习的融入。在知识点的教学中融入相关的样例，即通过对所讲授知识点的分析，依据其类型选择合适的样例。当讲授一个数学概念时，则选取可以用于例释其内涵的内涵型的样例，而当知识点涉及某一计算方法时，则可以利用方法型或问题解决型样例对其进行解释与说明。

教学作为一个系统，各个教学要素间相互作用、相互依赖。基于样例学习的高等数学教学亦是如此，微视频、教材、进阶作业以及课堂教学不仅作为样例学习应用的资源与平台，同样也是系统中的教学要素，需要教师在教学时有效地将它们进行整合。因而，在教学设计时需基于系统的观点对样例进行选取。为了帮助学生有效地将微视频的观看与教材的学习结合起来，教师在微视频设计前需要对教材有关知识点的样例进行整理，并基于典型性及示范性的标准有选择地将其融入在微视频教学之中。这不仅有助于学生能在微视频教学的指导下对教材中的样例进行理解并把握，也有助于他们通过对样例的研读获取相应的知识技能，并能在样例的示范与启发下完成进阶作业。考虑到练习也作为样例的一种来源，因而在对进阶练习进行设计时也需要考虑其典型性，题目既能够较为全面地体现出知识点所涉及的内容，还能对之后的学习起到一定的示范作用。课堂教学的主要内容是基于知识点以及作业中不易理解的部分，因而，教师在讲授时仍需结合视频、教材以及作业中已采用的一些样例对其进行解释。因为熟悉的样例不仅能帮助学生较快地将其与知识建立联系，还能通过教师的讲解及时对其中的疑惑进行释疑，更好地形成对知识的理解。

3.3.2 设计具有层次性样例的同时考虑变异性

由于样例的数量与学生迁移能力的关系一直是教育心理学研究者们关注的主要问题，例如“Reed和Bolstad以大学生为被试研究发现，要想提高样例学习的迁移成绩至少需要呈现2个样例。”[9]这也使得基于样例学习的课堂教学也常常需要对样例的数量选取等设置问题进行考虑。

由于确保知识点的掌握是微视频以及进阶作业环节的主要任务。因而，在样例的设置时需要考虑到微视频教学时间的有限性、数学知识的抽象性以及初学者的接受程度。若在教学时仅是提供一个样例来帮助学生对概念的内涵进行明晰或是对某一数学思想方法进行归纳必然是不够的。因而基于实证研究的结果“至少需要呈现2个样例”，在教学时可以设计成具有层次的多个样例链。即通过一个基础性的样例帮助学生对数学概念、性质、原理或是方法有一个初步的认识，并在此基础上提供一个复杂程度稍高的样例，引导学生对其进行分析与归纳。通过对多个有层次的样例进行学习，有助于学生更好地把握知识点的本质。例如，在对“牛顿-莱布尼茨公式计算问题”这一知识点进行教学时，教师可以首先选取较为简单的“作为样例，帮助学生初步了解公式是如何运用的，之后再向学生提供诸如的样例，通过分析与讲解促使学生认识到在运用公式进行计算时需考虑函数的特点以及定积分的性质等，不仅掌握了当前所学内容还能从中形成知识间的联系。同样在对进阶作业的设计时也是如此，可以围绕知识点设计具有层次性的练习，引导学生能够循序渐进地掌握知识，并形成良好的认知结构。

由于数学的抽象性与复杂性，使得很多数学对象的本质属性常常被一些非本质的特征所遮蔽，导致学生在理解上存在一定的困难。因而，为了更全面地向学生展示对象，在具有层次性的多个样例中不仅要注意样例的相似性，也需要考虑其变异性。不同于“先学”阶段强调知识的基础性，“后教”阶段的课堂教学则旨在加深与提高。因此，在此阶段不仅需要选取典型性样例帮助学生进一步巩固对知识点的初步理解，还需选取一定的变式样例，帮助学生通过分析不同形式的样例，在辨析差异的过程中“认识到哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征”，[10]形成对知识点多角度的理解，从而更为深刻地把握知识点的本质。例如，在“洛必达法则”教学中，由于微视频教学的重点在于讲授两种基本类型的未定式计算方法，因而在课堂教学时教师还需在此基础上给出有关不能直接套用法则计算的样例，如等，帮助学生对运算法则的适用性有更为清晰的认识，同时从相关样例学习中了解其他类型未定式的计算方法，并进一步掌握其中所蕴含的转化思想。

3.3.3 有效地对样例进行整合与呈现

样例作为样例学习的主要学习材料对学生的自主学习起着示范以及指导的作用。然而，由于有限的工作记忆使学习者很难同时加工多种信息，这使得样例的结构特征成为了学生样例学习效果的关键所在。因而为了保证样例学习的有效性，避免样例中所存在的一些无效信息导致注意力分散效应的产生，在样例设计时需要对信息进行整合，并且对其中的重点信息进行凸显。

在“慕课+翻转课堂”模式中微视频作为教学内容的重要载体，也是样例学习的重要平台。由于微视频借助了现代信息技术，与传统的教师讲授相比，它具有整合图、文、声、像等要素的优势。因此，在对样例设计时可以抓住这一特征，并基于学生的认知注意特点，对样例中各种信息进行整合。由于微视频中存在大量的视觉信息，如文本信息以及以图形、表格形式为主的图示信息等，基于学习者在面对这两种信息时对后者关注更多的特点，教学时可以有效地将样例中的文本解释信息整合到所对应的图示信息中去。在高等数学教学中，教材对很多知识点都设置了体现几何意义的图形进行补充解释，诸如导数、微分、不定积分、中值定理等等，因而在讲授这些内容时均可以采用此种方式进行整合，通过图形样例呈现促使学生的注意力集中于文本解释所指向的几何意义。同时微视频主要是通过教师的讲授向学生传递知识，因而其中还包含了很多听觉信息，实证研究表明将样例中的视觉与听觉信息进行整合能够提高学生的学习效果。因此，在样例呈现时不妨有效地利用听觉这一感知通道，对所呈现的视觉信息辅以口头语言进行解释与说明，帮助学生能够在口头说明的指导下对文本或图示等视觉信息进行观察与思考。

信息冗余理论指出在信息传输过程中一定的冗余度有助于学生对知识的理解，这也使得样例中需要存在一定量的无关信息。但这些信息的存在会增加学生样例学习时认知负荷的增加，从而导致学习效率的降低。因此，在教学时教师需要强调样例的结构特征，凸显样例中所要强调的核心内容与信息。这要求教师对样例进行提前分析，把握样例所蕴含的数学知识、技能、思想与方法等，并在教学中对其进行说明的同时利用加粗或加着重号等形式对样例中的一些关键信息进行书面标记与提示。例如，在对“极限运算法则计算”的教学时，为了突出样例不能直接使用商的极限运算法则，教师可以在分析过程中用红色对分母部分进行标记来引起学生对其的重视，并促使他们在对样例的学习中体会到在对商形式极限计算时首先要对运算法则的适用范围进行考查。

3.3.4 设计并组织对样例的解释活动

在教学中样例不仅具有示范解题步骤的功能，更关键地是在方法步骤的背后所蕴含的相关数学知识与技能。若学生在学习时仅停留在对样例的模仿，而忽视了其中所蕴含的思想方法或是解决问题时所需知识间的内在联系等，那么学生在后续的练习环节只能是“依葫芦画瓢”，而并不能达到样例学习所强调的对知识进行理解建构的效果。因而，为了促使样例学习能从表层的模仿走向理解的深入，需要在基于样例学习的教学时加强对其的解释。

样例学习作为一种建构主义形式的学习，需要学生对样例进行自主建构与内化。系列心理实验表明如果在样例学习中加强学生自我解释的训练，将有助于学生学习效果的提高。因而，在样例教学中需要设计有关促进学生自我解释的活动。例如，在对进阶作业设计时可以让学生举例说明，促使学生在对微视频和教材中的样例学习后，自己找到相应的例子对概念的内涵或关系进行说明；也可以在作业中为学生提供不完整的样例，即删除了问题解决型样例中部分解题步骤，让学生对其进行补充；还可以在课堂教学中围绕进阶作业设计诸如“这个例子告诉了你哪些信息？”这一开放性问题，在互动中引发学生对样例的作用、意义等进行思考并做出解释。可以看出，要完成对例子的寻找、步骤的完善以及问题的解释这些任务，都需要建立在学生对已有样例进行深层次的分析，并对其中的意义内涵做出较为积极的自我解释基础之上。

同样，在对样例主要由教师进行呈现与讲解的微视频教学进行设计时也需强调这一解释性原则。教师在利用样例对知识点进行讲授时不能仅是向学生提供样例，或仅是对方法步骤进行呈现，更重要地是要在此基础之上对样例的条件进行分析，对解题思路的来龙去脉进行剖析，对解题中所需知识的内在联系、所蕴含的原理及其思想方法进行解释，帮助学生通过对样例的学习不仅学会对解题步骤的运用，更能从中归纳出解题的规律与思考的方法，使其能知其然，更能知其所以然。有关样例学习方式对大学生数学学习的影响研究表明“教学条件下的样例学习比自学条件下的样例学习能更显著地促进学生对远迁移问题的解决。”[11]因而，在教学时需要重视、加强这种教师讲授式的样例学习，在学生自主进行样例学习的同时，利用教师引导者、合作者的身份对样例进行讲解与指导，促使学生能更好地理解样例的实质与结构，并形成有效地迁移。

[1][2]陈玉琨，田爱丽.慕课与翻转课堂导论[M].上海：华东师范大学出版社，2014：5，108.

[3]JoAnne LeFevre，Peter Dixon.Do Written Instructions Need Examples[J].Cognition and Instruction，1986，3(1)：1-30.

[4][5][6]邵光华.样例学习的理论与实践[M].杭州：浙江大学出版社，2013：9，12，16.

[7]陈满琪.样例学习研究述评[J].福建师范大学学报：哲学社会版，2004（3）：146-147.

[8]张四方，李广洲.样例学习在中学化学教学中应用的初步研究[J].现代中小学教育，2005（6）：37-39.

[9]林洪新，于洋.样例学习研究与样例教学原则[J].鲁东大学学报：哲学社会科学版，2012（6）：80-84.

[10]范良火，黄毅英，蔡金法，等.华人如何学习数学[M].南京：江苏教育出版社，2005：247-273.

[11]任金杰，路海东.自我解释与样例学习方式对大学生数学学习的影响[J].黑龙江高教研究，2009（9）：188-190.

Learning from the Worked Example and Its application in the Teaching ofHigher Mathematics——From the Perspective of“MOOCs+Flipped Classroom”

Sun Lu1,Fang Huiping1,Liu Zhi2
（1.School of Mathematics and Statistics,Huangshan University,Huangshan 245041,China;2.School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei230000,China)

Based on the connotation of worked examples,the paper analyzes the type of worked examples in the higher mathematics curriculum and the essence of learning from them.Taking this as the starting point,through a comparison oflearning from worked examples and the teaching of higher mathematics under the background of“MOOCs+flipped classroom”,the paper introduces the possibility of the application of learning from worked examples,sorts out the application resources and platform,and puts forward four teaching principles and measures to promote the effective learning from worked examples.

learning from worked examples;teaching of higher mathematics;MOOCs+flipped classroom;application

G642

A

1672-447X(2017)05-0101-006

2017-04-18

黄山学院教学研究项目（2016JXYJ03）；安徽省教育厅教学研究项目（2014jyxm399；2015jyxm035）

孙露（1982-），安徽歙县人，博士，黄山学院数学与统计学院讲师，研究方向为数学课程与教学；刘植（1976-），安徽金寨人，博士，合肥工业大学数学学院副教授，研究方向为计算数学。

责任编辑：胡德明