凸函数的加权积分不等式及其生成的差

时统业



凸函数的加权积分不等式及其生成的差

时统业

(海军指挥学院信息系, 南京211800)

从凸函数的定义出发, 建立了两个新的带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式. 对于一阶可微函数, 利用一阶导数的界给出由带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式生成的差值的估计. 对二阶可微的凸函数, 证明了当其一阶导函数为凸函数时, 本文给出的结果是已有文献结果的加强.

-凸函数; 凸函数; Hermite-Hadamard型不等式; 权函数

引言

记正数,的调和平均、几何平均、对数平均、指数平均、算术平均分别为

定义1[1]设. 如果对任意有

注2 可将引理1平行推广到第二种意义上的-凸函数情形: 设,是定义在上的函数,, 则为上第二种意义上的-凸函数的充要条件是则为上第二种意义上的-凸函数．

本文从凸函数定义和Jensen不等式出发, 建立两个第二种意义上的凸函数的带有权函数的Hermite- Hadamard型不等式．作为推论, 得到两个新的凸函数的带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式.

用分部积分法容易证明

(2)

; (3)

; (4)

; (5)

; (7)

． (9)

1 第二种意义上的s-凸函数的带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式

, (10)

.

综合式(12)、(13), 式(10)的左边部分得证．

所以

, (15)

其中

,

于是

. (18)

综合式(15)、(17)、(18), 则式(10)的右边部分得证．

, (19)

2 由凸函数的带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式生成的差的估计

; (21)

; (22)

; (24)

; (25)

． (27)

证明 式(20)~(27)的证明是类似的, 这里仅证明式(27)．设

; (29)

;

;

;

．

, (31)

式(31)的证明

.

故式(31)成立．

式(32)的证明

．

,

其中

所以有

.

故式(32)成立．

[1] Hudzik H, Maligranda L.[J]. Aequationes Math., 1994(48): 100~111

[2] Dragomir S S, Fitzpatrick S.The Hadamards inequality for s-convex functions in the second sense[J]. Demonstratio Math., 1999, 32(4): 687~696

[3] Dragomir S S, Gomm I.(I)[J]. Scientia. Series A: Mathematical Sciences, 25: 17~25

[4] 刘三阳, 李广民. 数学分析十讲[M]. 北京: 科学出版社, 2011: 93

[5] Dragomir S S.(II)[J]. Proyecciones Journal of Mathematics, 2014, 33(4): 349~367

Weighted Integral Inequalities for Convex Functions and Their Difference Generated

SHI Tongye

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)

Starting from the definition of convex functions, we establish two new Hermite-Hadamard type inequalities with weighted functions. For first order differentiable functions, the estimates of the difference generated by Hermite-Hadamard type inequalities with weighted functions are given. For second order differentiable convex functions whose first order derivatives are convex functions, the results in this paper are the strengthening of the results in the existing literature.

-convex function, convex function, Hermite-Hadamard type inequality, weighted function

O178

A

1672-5298(2017)01-0001-06

2016-05-29

时统业(1963−), 男, 河北张家口人, 硕士, 海军指挥学院信息系副教授. 主要研究方向: 基础数学