让错误成为数学课堂的一道风景——数学课堂错误资源的有效利用

河北省石家庄市井陉县陉山中学 曾敬荣

叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、学习方式和思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点，提出的问题与争论乃至错误的回答等，无论是以言语，还是以行为、情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源。”

教育专家成尚荣说过，“我们的教室就是一个允许学生出错的地方。出错了，课程才能生成，也正是在‘出错’和‘改错’的探究过程中，课堂才是最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的”。因此，我们要善待学生的错误，积极挖掘错误中蕴藏的宝贵的教学资源，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展。我们要善于捕捉错误中的亮点，让错误成为启迪思维的“催化剂”，让错误成为课堂教学的一道“风景”。但是，真正要利用好学生的错误，不是一件容易的事，需要我们教师辅之以策略处理，让“错误”美丽起来。

一、善待错误， 激发学生自主探究

数学的价值不在模仿而在于创新，数学的本质不是技能而是思想。学生的学习需要的不是去复制别人的数学，而是去建构自己的数学。也就是说，数学学习应由学生把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，对待课堂中出现的错误，教师应采取纠错措施，给予反思机会，引导学生对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生从反思过程中明白为何出错，使学生避免重蹈覆辙。

【案例1】如在学习了一元一次不等式组后，笔者有意设计了一个有价值的“错误”，在 △ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C 所对的边，其中a=3,b=4,求c的值。很多学生答道c的值为5。此时笔者不加以评价，试图让学生自己从圈套里走出来。此时一位学生站起来答道。

生1：三角形不是直角三角形，不能用勾股定理，

师：若此三角形是直角三角形即当△ABC是直角三角形时，c的值是多少？

(这次全班的结果都是5。此时学生很显然是受到前面思维定势的影响。笔者没有评价，让学生继续思考。)

生2：不对，如果△ABC是直角三角形时，c应该是5或。

师：那你是怎样得到的。

生2：当c是斜边时，c=5；当b是斜边时，c=，而a不可能是斜边。

在上面的过程中学生在落入误区和走出误区的过程中，吃一堑长一智，思维的严谨性受到了锻炼。于是笔者继续追问：如果△ABC是锐角三角形，求c的取值范围？

(几分钟过后，一位学生举手回答。)

生3：c＜5，因为∠C 是锐角，所以它所对的边c应小于∠C是直角时所对的边5。

(听了这位同学的回答，又有几位学生举手)

生4：不对，应该0＜c＜5，因为边长是正数。

生5：老师，不对，应该是1＜c＜5，因为根据三角形三边关系性质，c的取值范围是1＜c＜7，结果应该是它们的公共解。（其他学生点头表示赞同）。

这时全班学生都已误入了老师所设的“陷阱”，因为他们只考虑了∠C是锐角，而没有考虑∠A与∠B是锐角。

受到老师的启发，同学的学习热情就更高了，思考就更加投入了。

生6：1＜c＜5能保证∠C 是锐角，而不能保证∠A与∠B是锐角。

生7：答案是＜c＜5。若∠C 是锐角，求得1＜c＜5， 若∠B是锐角，则∠A也是锐角，求得＜c＜7，结果＜c＜5是它们的公共解。

通过这道题的解答，使学生走进了“陷阱”，又从“陷阱”里一步一步地走了出来，继续去寻找新的答案，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”，通过“诱错”，不仅使学生对知识理解的更加深刻，学生在犯错、改错的探讨过程中自主探究完善自己的思路，对数学思想方法也掌握的更加灵活。

二、挖掘错因，培养学生思维能力

英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”是的，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。在课堂上，我们经常会看到这样一种现象：老师提出一个问题，教室里一片寂静，但当某个同学发表了一个有错误的见解之后，一只只小手举了起来，纷纷发表自己的见解，是同学错误的回答撞击了其他同学思维的火花，唤醒了“沉睡”的思维。我们不仅要宽容错误，更要挖掘利用好学生的错误资源，让学生在纠正错误中开启智慧，培养学生的数学思维。

【案例2】：在讲解《等腰三角形》时，有这样一个问题：“已知一个等腰三角形的两边长分别为4，9，求这个三角形的周长。”下面有同学立刻回答17，22，我停顿不语，让学生自己考虑，这时有同学反应过来了，答案是22，17是错误的，因为两边之和大于第三边，周长为17的时候不能构成三角形。

通过这样的教学，不仅使学生找到了错误的原因，实现了纠错的目的，而且通过比较、思辩，可以帮助学生从对错误的反思中引出对知识更为深刻的理解。同时在这纠错和再思考的过程中，也给学生提供了更丰富的素材，促进学生思维的进一步完善。同时培养学生运用数学方法解决问题的能力，

三、利用错误，提高学生创新能力

学生的错误都是有原因的，作为教师应该深入挖掘其本质，充分利用好学生的错题，将错误作为宝贵的教学资源，进行在利用。通过借题发挥，扩大内涵与外延，开拓学生思维视野，从而优化解题方法，活化学习过程。使错误成为提高学生能力的一贴良药。

【案例3】在探索分式方程“增根”产生的原因之后，笔者出示了一解方程的错解：x2=3x,等式两边同时除以x得x=3,对于这个结果学生惊奇了，他们发现这与他们用常规解法得出的解少了一个根——x=0，这极大地提高了学生的学习兴趣，并产生了认知冲突，从而给学生创造一个寻找“错误”的机会，很自觉地去寻找此解法的错误原因。不长时间就有学生站起来回答说：方程两边不能都除以x,因为只有x确保它不为0时才可以使用，而此题x=0恰好是这个方程的一个根，这就出现了“失根”的情况。笔者又适时出示了另一解方程的错解：x=6x,两边都除以x得：1=6，此题同样因为错误地运用了等式性质2，致使出现了荒唐的结果。这样的教学将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，巩固了等式性质2的应用，相信学生在今后的学习中碰到应用等式性质2的时候会“小心行事”，避免重蹈覆辙。

杜威曾说过：“失败是有教导性的，真正懂得思考的人，从失败和成功中学得一样多！” 教学中，学生的错误是各种各样的，教师如何根据学生在学习中所表现出来的错误，采取及时有效的方法进行调整，进而在以后的教学过程中不断优化教学，提高课堂教学效率，为学生的成长与发展提供新的教育契机，是我们常抓不懈和具有深远意义的课题。