解题品题

丁瑞芳

[摘 要] 解题是一种基本教学活动，它是指导教师提高教学基本功的必备路径. 但是仅仅会解决问题还远远不够，还要从解决问题中去发现问题、反思问题，才能不断提高教师专业化的水平.

[关键词] 解题；品题；探究；数学；抛物线；推广

解题是数学教师必备的基本功，也是所有基本功里面最重要的一种技能. 数学教学离不开解题，学生数学学习离不开解题，数学能力的提高更需要不断通过解题去积累经验，所以要提高教师自身的解题能力既能帮助教师自身的专业化发展，也能有助于学生对于解题的新认识.

如何解题？这是波利亚提出的一个很宽泛的问题. 就一线教学来说，笔者认为如何解题需要做好两方面的工作：第一是解决问题，问题的解决可以是不同方法、不同思想的渗透，这样当然很好；第二是提高内涵，即对解决后的问题进行再思考，这种思考往往具备了问题的再开发，要继续在原问题基础上进行再开发，势必将原问题的理解提高到一个新的层面，在无形中提高了知识的运用能力. 本文从笔者解的一道抛物线问题出发，谈一谈解题的探究活动.

解题

抛物线是中学数学中常见的函数图象，其性质并不多，教材中介绍了其定义、顶点、对称性、增减性、最大最小值等等. 由于抛物线的曲线形状没有圆形的规则，因此有关抛物线的问题很多是比较难以用初等方法来解决的. 本文是笔者在解决抛物线问题的过程中发现的一个抛物线性质并对它进行了推广.

问题1：已知抛物线x2=4y，其焦点坐标为Q（0，1），准线方程为：y=-1，记准线与y轴交点为P，过点Q的直线与抛物线相交于A，B两点，连AP，BP，则有：

结论1：PQ是∠APB的平分线.

显然上述两个结论的证明不仅仅适用于问题一中的特定抛物线，而是适用于所有顶点在原点的抛物线，而对于顶点不在原点的抛物线，通过适当的坐标系变换，总能把抛物线的顶点变换到原点，因此，对所有的抛物线上述结论总是成立的.由此我们可以得出一条抛物线的有趣的性质.

此性质是抛物线的固有性质，与抛物线的形状、位置无关，也与直线的斜率无关.

对于上述性质，我们可否对其进行推广呢？我们不妨把原拋物线向下平移几个单位，然后过原点作一直线交抛物线于A，B两点，在对称轴上是否存在一点P，使得∠APB被对称轴平分？

品题

此性质也与抛物线的形状无关，由此我们还可以作这样的猜想，是否与抛物线相交于对称轴两侧两点的直线都有这样的性质呢？

问题3：形如y=ax2+c的抛物线与直线y=kx+b在对称轴两侧有两个交点A，B，直线与抛物线的对称轴有交点为Q，则在抛物线的对称轴上存在唯一的点P，使得∠APB被对称轴平分，并且抛物线的顶点（0，c）是PQ的中点.

品题1：问题3中的△ABP的三边被y轴所分得的四条线段，在y轴同侧的两线段之和与另一侧的两条线段之差的积是定值，并且这个定值是PQ2.

品题2：形如y=ax2+c的抛物线与直线y=kx+b在对称轴两侧有两个交点A，B，直线与抛物线的对称轴有交点为Q，则在抛物线的对称轴上存在唯一的点P，使得∠APB被对称轴平分；并且抛物线的顶点（0，c）是PQ的中点；△ABP的三边被对称轴所分得的四条线段，在对称轴同侧的两线段之和与另一侧的两条线段之差的积是定值，并且这个定值是PQ2.

以上性质的证明，也具有一般性，限于篇幅笔者不再做类似的证明展开，有兴趣的读者可以类比前面证明求解.对于其他更普通的抛物线，我们可以通过一定的坐标变换，总能转化成y=ax2+c的形式，并适用于本文所证明的性质.

总之，问题的解决是依赖不断的思索和实践的，从原始问题1出发，将问题转换为一般情形的研究，到品味问题更为一般化的性质，这种思索的途径值得我们教师思考，从解题到品题，教师让自身的数学思维又有了新的锻炼，让数学素养得到了提升.