导数的运算法则解析

2017-03-08陈思汝

环渤海经济瞭望 2017年7期

关键词：增量单调导数

◆陈思汝

导数的运算法则解析

◆陈思汝

文章首先根据高中数学导数的相关背景知识，引出了高中导数的基本定义。接着运用高中导数相关运算法则进行了简单的解析，比如和差导数运算法则进行解析；运用乘积导数运算法则进行解析。

导数；运算法则；解析

一、导数相关背景知识

高中数学导数是微积分里面的一个关键性概念。假如函数y=f(x)其自变量x在一点x0中出现了增量Δx的时候，那么这时的函数输出值增量Δy和自变量增量Δx的比值在Δx趋向为0的时候的极限a是存在的，那么a就是x0处的导数，所以，就会记作f'(x0)或df(x0)/dx。并且导数还是数学中函数的局部性质。当某一个函数在一点的导数展示了此函数在这点周围的变化。假如函数取值以及自变量是实数，那么函数在一点导数为此函数所表示的曲线在此点中的切线斜率。导数本质通常是经过极限概念对函数开展局部的线性逼近的。

而且不代表全部的函数都具备导数，有时候一个函数并不在全部的点中具备导数。假如某一个函数在一点导数里面存在着，那么就可以叫做在这点可导，不然就是叫作不可导。可是，可导函数是连续的，而不持续的函数则是不可导。针对可导函数f(x)，x→f '(x)其实也是一个函数，一般被称为f(x)的导数。寻求已经知道的函数在某一点中的导数这一过程被叫作求导。实际上，求导其实是求极限的一个过程，在高中数学中，导数的四则运算法则基本是来自于极限四则运算法则。

二、导数的基本定义

假如设函数y=f(x)处于点x0的某一个相邻区域内有定义，而自变量x在x0位置产生了增量Δx，那么，由此可以知道(x0+Δx)也是处于此相邻区域时，对应的函数获取增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。假如Δy和Δx之比当Δx→0时候的极限存在着，那么函数y=f(x)在点x0位置就是可导，并且此极限是函数y=f(x)在点x0处的导数被记作①f'(x0) ；②y'│x=x0 ；③ │x=x0。而导函数就是假如函数y=f(x)在开区间中的每一点都是可导，那么就会被称作函数f(x)在区间里面是可导的。此时函数y=f(x)对于区间里面的每个确定的x值，对应着一个确定导数，从而组成了新的函数，叫此函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，也就是导数。

三、高中导数运算法则解析

（一）运用和差导数运算法则进行解析。假如在试题中已经知道一个条件中存在着f'(x)＞a,而这个a实际上是一个常数，那么就可以运用和与差函数的导数相关的运算法则来构建新的函数g（x）=f(x)－ax，并且要运用形函数的性质进行解析。例如，函数f(x)的定义区域是R，而f(-2)=2，并且对任何的x∈R，f'(x)＞3，那么请计算出f(x)＞3x+8相应的解集是多少？首先看到这个题目的时候，需要进行分析，接着解答问题。解析，让g（x）=f(x)－3x，那么就可以知道g'（x）=f'(x)－3是大于零的，因此就能知道y=g（x）实际上是在R上呈现单调递增的趋势的。由于f(-2)=2，因此g(-2)=f(-2)+6=8,而f(x)大于3x+8,所以g（x）是大于8的，因此x属于-2和+∞的，书写规范写作x∈（-2，+∞）。

（二）使用乘积导数运算法则进行解析。假如是题中已经告知的条件中具备了f(x)+xf'(x)大于0，就可以运用积函数导数相关运算法则来构建新的函数g（x）=xf（x）,并且运用新的函数性质进行解析。例如，函数的f（x）是定义域在R之上的奇函数，而f（3）=0，假如x大于0的时候，那么f（x）+xf'(x)大于0，请问不等式xf(x)小于等于0的解集是多少？解析，使g（x）等于xf（x）,那么g'（x）就等于f（x）+xf'(x)大于0，因此y等于g（x）,其是在0和+∞上呈单调递增的趋势的。又由于f（-x）等于-f（x）,因此g（-x）等于-xf（-x）等于xf（x）等于g（x）,所以，y=g（x）实际上是在R上的偶函数，因而，y=g（x）是在-∞和0上呈单调递减趋势的。且f（3）等于0，因此g（3）也等于0，而g（-3）等于0，g（0）还是等于0。根据函数y=g（x）图像可以知道，不等式xf（x）是小于等于0的解集是-3和3,书写规范应当写作[-3,3]。