拉长过程，突显问题解决的经验形成

费岭峰++朱国荣

【摘 要】“问题解决”的核心价值，在于引导学生经历过程，积累问题解决的活动经验。人教版“用面积知识解决问题”是一节典型的问题解决课，教师在教学时可以从问题解决的教学价值思考入手，设计从“一般”到“特殊”的学习路径，结合“问题提出”“信息分析”“典型问题的解答”与“变式拓展练习”等环节，通过拉长过程，引导学生实现问题解决中的经验形成。

【关键词】问题解决 拉长过程 活动经验 经验形成

【课前思考】“问题解决”仅仅是已学知识技能的练习巩固与简单应用吗？

“用面积知识解决问题”一课是人教版教材三年级下册第五单元例8的内容。在学习这个内容前，学生已经结合教材例1～例7内容（如左图）的学习，理解了“面积”，知道了一些常用“面积单位”，学会了长方形、正方形的面积计算方法，以及有了面积单位间的进率的学习作基础。那么，现在我们要问：作为本单元的最后一节内容，例8的学习，仅仅是前面所学知识技能的练习巩固与简单应用吗？

从教材内容编排（如左图）分析，教材例题为：一个长6米、宽3米的客厅地面，用边长3分米的正方形地砖铺，需要多少块？

由于例题中两个图形提供的长度单位不同，所以在解決此问题过程中，除了解题思路用到“长方形、正方形的面积计算”方面的知识之外，还需要用到“单位间化聚”的知识。教学意图很明显，即结合“大图形中包含几个小图形”的问题解决过程，巩固长、正方形面积计算及面积单位化聚的知识。而且这样的意图，在教材“分析与解答”及“回顾与反思”环节中，同样可以明确看到。只是从“大图形中包含有几个小图形”问题的学习价值上思考，作为一类讨论图形面积之间关系的问题，是一种比较典型的“与面积相关的问题”，将会在后续知识的学习中多次出现。

比如：（1）把一块长2米，宽1米的铁皮，剪成两条直角边均为0.5米的三角形铁片，可以剪多少块？（“铁皮”换成“布匹”，“三角铁”换成“三角巾”也可）

（2）明明家的客厅要铺地砖（如右图）。如果用边长为整分米的正方形地砖铺满客厅（使用的地砖都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？

（3）在一个长20米，宽15米的果园里种果树。每棵果树的占地是一个面积为4平方米的正方形。这个果园里最多可以种果树多少棵？

……

类似于这样的问题，都可以看成是以例8的问题为基本模型。因此，本节内容的学习，目标仅仅定位于运用所学知识（如面积计算方法、长度单位、面积单位的化聚等）解决问题，显然是不够的。如能引导学生回归“面积意义”的本源，结合面积意义的深入理解，拉长解决问题策略探索的体验过程，积累相应的问题解决的活动经验，是否能更好地实现本例题的学习价值呢？

我们认为，如此类“计算大图形中包含有几个小图形”的问题，涉及的知识虽然与面积知识相关，但解决此类问题的思路却不止“分别计算出大图形面积和小图形面积，再用‘大图形面积÷小图形面积求得块数”这一条。况且因为这条路径只能解决如例8“大图形里包含整数个小图形”的特殊情况，而无法直接解决“商是非整数”的情况，显然不具有普适性。

事实上，解决此类问题还有一种更具普适性的方法，即结合面积探究中的动手操作——“摆（或画）小方块”的活动经验，直观找到相应的“块数”。这条路径可以解决此类问题中的任意情况。而且这条路径，因为从图形中的“长度要素”切入，为后续如上面提到的“剪三角铁”“果树棵数”“客厅地砖边长”等应用问题的解决有相应的借鉴作用。

基于以上分析，我们将此课的教学目标确定如下：

1.结合“大图形中包含几个小图形”的问题解决过程，感知此类问题的结构特点，并能根据问题的特点采用“摆（或画）”的方法或利用“面积”之间关系的方法解决此类问题，提高学生合理选择方法解决问题的能力。

2.结合“大图形中包含几个小图形”的问题解决过程，进一步巩固长方形、正方形的面积计算方法，熟练面积单位化聚的技能，提高学生的运算能力。

【教学实践】设计从“一般”到“特殊”的学习路径，引导学生经历问题解决的全过程

经过解读，我们发现，教材本身提供的例题，因为解决的是一个特殊问题（即大图形中正好包含整数个小图形），学生对“大图形面积÷小图形面积=包含的块数”的方法比较容易理解，而对“沿着长铺的块数×沿着宽铺的块数=总块数”的方法则比较难以认可或接受。学习后，往往会形成“求大图形里包含几个小图形的问题，只要用大图形面积÷小图形面积”的思维定势，不利于学生对一般方法的理解与掌握。因此，我们将整节课的学习路径进行了重新设计，从“一般”情况切入，有意识地放大了引导学生经历问题解决的全过程，为学生获得更为丰富的解决此类问题的活动经验提供帮助。整节课主要通过四个层次的活动展开教学。

活动一：结合提出问题，体会信息间的关系

情境信息（如下图）：卡纸的长是8厘米，宽是5厘米。一张正方形数字卡片的边长是2厘米。

师：看了这些信息后，你能提出数学问题吗？

教学中，学生提出了这样一些问题：

（1）这张长方形卡纸的面积是多少？（板书）

（2）一张长方形纸的周长是多少？

（3）正方纸数字卡片的周长和面积是多少？（板书“求面积”这个问题）

（4）一共可以剪几张数字卡片？（板书）

提出这些问题后，请学生说一说是根据哪些信息提出来的。目的在于引导学生关注信息之间的关系，深度解读信息，既让学生经历发现问题和提出问题的过程，同时又是经历“阅读与理解”的过程，一举两得。

活动二：经历解题方法的理解过程，体会不同解题思路的意义

请学生围绕问题“一共可以剪几张数字卡片”，尝试解答。完成后，组织交流，重点讨论两种典型材料。

材料一：8×5=40（平方厘米），2×2=4（平方厘米），40÷4=10（张）。

材料二：用画图法解决（如下图），得到的结果是8张。

先交流两种方法的思考过程，再重点组织讨论：哪种方法是对的？为什么？

材料一的思考过程是：8×5，先算出长方形卡纸的面积，再算出一张数字卡片的面积。长方形面积÷数字卡片的面积，可以算出剪几张。这种思路是：大图形面积÷小图形面积。

材料二的思考過程则是：从长看，沿长剪可以剪4张，沿宽剪可以剪2张，4×2=8张。这是用“行的张数×列的张数”算出总共剪的张数。

本活动重点在于引导学生呈现不同的解题思路，经历思维从不完善走向完善的过程。主要策略是数形结合，展示思维过程，让更多的学生体会到，类似于这样的问题，通过画图可以比较清楚地表达思考过程，也能够比较准确地找到问题解决的关键点。

活动三：再次经历问题解决，进一步丰富感性经验

情境材料：小北用的长方形卡纸长是12厘米，宽是9厘米；要剪的正方形数字卡片边长是3厘米。一共可以剪几张？

学生自主解决后反馈交流。重点比较以下两种方法的异同。

方法一：12÷3=4（张），9÷3=3（张），4×3=12（张）。

方法二：12×9=108（平方厘米），3×3=9（平方厘米），108÷9=12（张）。

发现这一问题无论是“行的张数×列的张数”的方法，还是用“大图形面积÷小图形面积”的方法，结果却是一样的。

组织讨论，解析原因：沿长剪边长是3的正方形，正好；沿宽剪，也正好。随之，教师借助媒体展示剪的过程，并引导小结：像解决这类大图形面积里面有几个小图形面积的问题，我们可以用行的数量与列的数量相乘解决，特殊情况下还可以用大图形面积除以小图形面积，也可以解决。

本环节解决的问题看似与前面的问题类似，其实不然。这个问题是用两条思路都能顺利解决的。目的让学生体会，这样的问题因为有一定的特殊性，所以用“大图形面积÷小图形面积”也是可以的，经历从“一般”到“特殊”的过程。

活动四：解决生活问题，体会数学与生活的联系

师：像这样的问题，生活中其实有很多的。比如教室里面铺的地砖，也会碰到这样的问题。（随之呈现教材例题，请学生独立完成解答）

此处教材例题作为巩固练习，一是为了帮助学生进一步强化此类问题的解决过程，丰富经验；二是因为这个问题的重点已经不在解题思路上，而是在单位的化聚和面积计算方法的熟练上，因此特别注意了对单位化聚部分的关注和面积计算方法的关注，强调对基础知识和基本技能的掌握。

活动五：变换情境，拓宽思路，发展思维能力（略）

【课后反思】拉长过程，突显问题解决中的经验形成，同样是解决问题的重要教学目标

经过本课的教学，我们在问题解决内容的教学处理上，对以下两个方面的体验还是比较深刻的。

一是多层次经历问题解决的全过程，充分感知了“信息解读—问题解答—回顾反思”这一问题解决过程中的各个要点

因为“问题解决”的核心价值，在于引导学生经历过程，积累问题解决的活动经验。特别是对“表征问题”和“表征分析”需要有充分的感知和体验。本课正是通过四个问题的解决，借助每个问题的解决过程中，围绕 “问题提出”“信息分析”“典型问题的解答”与“变式拓展练习”等环节，充分展开探讨、体验，有层次地引导学生感受问题解决各环节的操作要点。比如“信息解读”，从第一个问题开始，特别采用“根据信息提出问题”的操作方法，改变以往直接提问“有哪些信息”的状况，让学生的信息解读更有目的性和自我需求加强，体会问题的真实性和生成性。再如“解决问题”环节，由于采用“尝试—分享”的方式，学生个性化的解题方法得以呈现，活动中又重点落实互动交流，使学生的思维在碰撞中得到发展。

二是经历“一般”方法到“特殊”方法的发现过程，引导学生体会不同结构的问题在解决方法上的差异性

很多时候，我们是从“特殊”到“一般”来组织学生学习的。本节课采用了从“一般”到“特殊”的活动设计，更加符合问题解决的本质内涵。问题解决中的“问题”更多应该是真实的问题。而真实的问题，又大都属于结构不良的问题。传统的应用题教学中，因为很少出现结构不良的数学问题而通常被人诟病。新课程理念下的问题解决，倡导采用真实问题，提供结构不良问题，其目的就在于引导学生经历符合“问题解决”特征的学习活动，真正提高问题解决的能力。从本课的材料也可以看出，第一个问题与第二个问题相比，在结构上就复杂了些。所以在解决时，直接用“大图形面积÷小图形面积”是解决不了的，需要研究大图形的长、宽与小图形边长的关系，才能更准确地把握信息要素，顺利解决问题。于是，画图，以“数形结合”的方式理解信息之间的关系，准确找到解题突破口，顺利解决问题。这从解题方法来说，这种方法具有一般性，因为所有类似的问题都可以用这种方法解决。而出现类似第二个问题的情况，除了用这种一般方法解决之外，还可以直接用“大图形面积÷小图形面积”的方法加以解决。因为在这个问题中，由于要素的特殊性，就不影响采用这种方法来解决这个问题的过程。

基于此，我们会有更深的体会：新课程理念下的问题解决，其最大的价值不在于解决某个具体的问题，而是从解决某个具体的问题过程中，经历问题解决的全过程，形成“表征问题”和“表征分析”的基本活动经验。

（浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心 314001 浙江省嘉兴教育学院 314001）