探数理之源 寻算法之根

齐胜利

【摘 要】平均数是“统计与概率”教学重要内容之一，如何帮助学生既能掌握计算平均数的方法，又能真正理解平均数的概念，一直是教师追求的方向。俞正强老师执教的“平均数”一课，从探平均数数理之源入手，挖掘出平均数“代表了”数学本质，在此基础上寻找平均数算法之根，巧妙解决了算理与算法的融合，为后继拓展平均数运用之路奠定了坚实的基础。

【关键词】平均数 数理 算法 运用

平均数是分析数据的重要工具之一，小学所学的平均数一般指的是算术平均数，它常用于表示统计对象的一般水平，是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。

在平均数教学中，对于计算平均数的方法学生很容易掌握，但对平均数的概念却很难真正理解，如何理解平均数概念就成了平均数教学的难点所在。怎样帮助学生实现对平均数概念的真正理解，培养其数据分析能力呢？俞正强老师执教的“平均数”教学给我们提供了很好的范例。

一、探源——探平均数“数理”之源

【教学片段】

师：小明爸爸帮他测得60米跑的时间：15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。小明到学校要填写个人60米跑的成绩。我发现他填了一个数字：15秒。但之后又把15秒涂掉了，我想问问大家，他为什么把15秒涂掉？如果是你会涂掉吗？

生：不会。

生：会涂掉，15秒是他跑得最慢的一次，并不是他每一次都是这个速度。

师：他愿意报告给老师吗？你认为他的说法有道理吗？

生：有道理。（生陆续说）

师：刚才小朋友说了，如果换成我也涂掉，因为15秒是他所有成绩当中？

生：最慢的。

师：他把跑得最慢的填在上面，他甘心吗？你甘心吗？（边说边画去15，连续追问）

生：不甘心。

生：14出现了2次，所以应该填14。

师：填最慢的不甘心，你们猜他涂了之后填了哪个数字？（生大部分说14，少数说10）

师：他真的填了个10，没填14。但后来又把它涂掉。你们知道他为什么又涂掉呢？如果是你，你会涂掉吗？

生：我会。

师：为什么会涂掉呢？10秒是他跑出的什么成绩呀？

生：最好的。

师：这是他昨天跑出来最快的一次成绩。他能不能保证每次都跑10秒呀？

生：不能。

师：他如果填了10秒，老师叫他跑，他跑不出来，会是什么感觉？

生：很尴尬。（连续追问）

生：会感觉欺骗了老师。

师：不好意思，是吧？第一我们不想贬低自己，第二我们又不想让别人感觉欺骗他。保证不了每次都能跑出10秒，填这个是有点不好意思。我看到他涂掉10后发呆。我想问一个问题，他最后填了一个数，你们估计他填的是几？

生：他可能填14。（连续追问）

师：同学们，他一定会填14。理由是什么？

生：理由是他跑了两次都是14秒。

师：在所有成绩当中，14秒跑的次数？

生：最多。

师：这是最多的呀，所以要填14。你们还有什么意见？

生：我支持填13秒。

生：我也支持13，因为它们的平均数是13。

师：13是平均数？有没有第三个答案？

生：12。

师：为什么？

生：因为这样可能保守一点。

师：12，比较保守一点，怎么理解，什么叫保守一点？

生：因为这里面13并没有出现过，12是最近的了。

师：13根本就没出现，对不对？12出现没有？（12出现过）

生：它们相差也不大。

师：你觉得12跟14比，你们更愿意填几？

生：12。

师：为什么更愿意填12。14是比较多，但它还比较？

生：慢。

师：填14秒就有点偏慢，与其偏慢不如来一个？

生：偏快。

师：谁是偏快的呀？

生：12。

师：三个答案出来了，你们觉得哪个答案的可能性比较大？

生：我觉得12、13秒可能性都比較大。

师：同学们，14最多但是怎么样？

生：偏慢。

师：12呢？

生：偏快。

师：那有没有不偏快又不偏慢的？

生：13。

师：13既不偏快，也不偏慢。13这个数字怎么样？

生：中等。

师：正好中等，不快不慢。能不能填13呢？

生：可以。（连续追问）

生：13是它们的平均数。

师：什么叫平均数？谁告诉你的？13是平均数？（连续追问）

生：算出来的。

师：怎么算出来的？

生：把5个数相加再除以5。

师：把5个数相加再除以5就是平均数，谁教你的？

生：这个是我从书上看到的。

师：算出来干嘛用呢？（连续追问）

生：解决问题，解决这类问题。

师：同学们，前两种擦掉后，他有三种选择。一种选择是填几？

生：14。

师：理由？

生：跑的次数多。

师：但是？

生：偏慢。

师：第二种选择是？

生：12。

师：但是？

生：偏快。

师：第三种选择是？

生：13。

师：理由？

生：不偏快也不偏慢。

师：13的缺点呢？他有没有跑出13秒过？

生：没有。

师：没有跑出来过，他把13填上去，有什么感觉？你敢填吗？

生：不敢。（连续追问）

生：敢。（弱弱的说）

师：5位小朋友有4位不敢。13没出现过，你怎么敢填上去呢？你有什么理由？明明13是最好的，13不快不慢，正正好的数，你敢填吗？（连续追问）

生：填13就可以，它保险一点，填12可能不行。

师：可是你跑出来过吗？你不诚实呀。

生：越快越好。

师：那填10好了。谁来说理由？13正正好，但是没有跑出来过。

生：虽然没有跑出来过，但是第二天跑的时候真的跑出来呢？

师：什么意思呀？

生：如果下一次跑的时候真的跑出来了呢？

师：听懂了吗？他说现在是没跑出来，但是“下一次”有可能跑出。有可能跑出13秒吗？（连续追问）

生：有可能。（学生回答）

师：可能性大不大？

生：大。

师：为什么大呢？同学们，他的说法有没有道理？

生：有。

师：虽然这5次没跑出，但是第6次有可能吗？

生：有可能。

师：因为13秒正好是不快不慢。第6次跑出的可能性大不大？第7次呢？第8次呢？这儿没出现过，但是它可能出现在？

生：下一次。（板书）

师：因为这个成绩表示他的速度，正好怎样？

生：不偏快也不偏慢。

师：不偏快也不偏慢，这是最能代表他什么的？

生：成绩。

师：虽然他没有跑出来过，但是，可能他会在“下一次”跑出来。

……

【教学赏析】

知识的习得都要经历“是什么—怎么得到—有什么用”三个阶段，对应的数学知识就是“概念—方法—应用”。[2]平均数的学习也应经历这样的学习过程。突出平均数意义的教学，把握平均数的本质，就成为学生理解平均数概念的关键所在。为此，俞老師在课堂上引导学生从以下几方面来学习平均数。

1.从“快慢”对比中，探求平均数“不快不慢”的本质

教学中俞老师引导学生从填写极端数入手，填写“15”，发现偏慢；填写“10”，发现又偏快。在偏慢与偏快的碰撞中，学生必然会走向第三条路——向数据的中间值逼近，此时的逼近不仅是数据对比后的结果，更是学生思维整合的结果。当“不快不慢”出现时，不仅符合了数据逼近中间值的现实需要，更揭示了算术平均数的本质特征，即“不快不慢”的“13”代表了这组数据一般水平，最能反映这组数据的“集中趋势”。学生在与教师共同寻找“不快不慢”“13”过程中，不仅理解了平均数的意义，更从本质上理解了平均数“代表”一组数据的特征。

2.从“需求”冲突中，挖掘平均数“没有出现”的特征

“不快不慢”的出现，看似偶然，实质是必然。因为“偏慢”与“偏快”都不适合，“不快不慢”自然而然就走了出来。此时出现的“13”不在现实数据中，学生明明知道“13”好，却又不知如何解释这个“好”。针对“没有出现”的“13”，俞老师没有急于求成，反而是从不同层面引导学生思考“13”出现的可能性。从可能出现到出现的可能性很大。让学生的思考在“现实”与“需求”的冲突中，发现平均数也可以用“没有出现”的数表示，进而认识到平均数的另一特征——平均数可以是“虚拟的数”。

3.从“追问”碰撞中，理解平均数“代表了”的内涵

俞老师带领学生理解平均数意义的过程，就是不断追问的过程。通过不同角度、不同要求、不同力度的追问，引发学生的思维自始至终地贴着平均数的意义前行。由最初极端数“偏慢”与“偏快”碰撞，到后来撞击出的“不快不慢”。学生每一次思考的结果，俞老师都不轻易“相信”，反而是穷追猛打“追问”不已，学生在教师的不断追问中，平均数的非本质属性一点一点地被挤掉了，本质属性一点一点地抽象出来。“正正好”“代表了”这种具有鲜明儿童表征属性的平均数特征深深印在学生的脑中。

二、寻根——寻平均数“算法”之根

【教学片断】

师：刚刚有同学说，平均数可以算，把5个数加起来除以5能不能算出13来？

生：（学生独立计算后）是13。

师：同学们，说明这个13跟这组数有没有关系？

生：有。

师：它是偷偷地躲在这组数后面的一个数。老师这有组材料，你看得懂吗？你能从这里变出一个13吗？谁来变？（黑板出示学具与图的结合）

两名学生上黑板移动学具：

师：你看，他变出13来了。他把一个14，一个12变成了两个13，15移2个给10，14再移1个给10，又变出三个13。原来高高低低的，被这两个小朋友变得怎么样了？

生：平了。

师：平了，是几呀？

生：13。

师：“平”出了一个13。这叫均分对不对？平均怎么来的？“平”出来的，“均”出来的，合起来是？

生：平均。

师：厉害！同学们，回到黑板上，看这五个数都很特别？15特别在哪儿？

生：最慢。

师：10。

生：最快。

师：一个最快，一个最慢。很特别。14呢？

生：最多。

师：12呢？

生：偏快。

师：13呢？

生：不快不慢。

师：对了，13是正正好。它除了正正好之外，还有个什么特点？

生：没出现。

师：所以，这五个数都很特别，但谁的特点更多？

生：13。

师：它有几个特点？

生：两个。三个。

生：不偏快，不偏慢，没出现。

师：不偏快、不偏慢就是“正正好”，所以它“代表了”。“代表了”是它的特点呀。一共有几个特点？

生：两个特点。

师：符合“没出现”“代表了”两个特点的数叫什么数？

生：平均数。

师：因为它正好，所以，它代表了谁的水平呀？代表作为二年级小朋友的水平。因为它不快也不慢。因为它没跑出来过，怎么得到它？

师、生：移多补少地“平”出来。

师：他的成绩可以填多少？

生：13。

师：说明13是最合理的。

生：平均数也不一定非要是不出现呀。

师：这位同学说了，平均数是不是一定没出现呀？不是一定没出现，是可以不出现，补充得非常好。

……

【教学赏析】

平均数的计算方法，一般就是求一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。这对已学习过除法的小学生来说，会算也会用。然而平均数的学习，如果仅仅知道求几个数的平均数远没有达到学习的目的，还有必要让学生知其算法的所以然。为此，俞老师在平均数计算方法的学习上设计了“算”“平”“比”三个环节，帮助学生从平均数的“根”部理解算理，掌握算法。

1.验证——理解“算”出的平均数

学生早已掌握了求一组数平均数的计算方法，因而，在教学中，俞老师放手让学生自己去算，自己去验证。通过计算不仅验证了平均数“13”是算出来的，更进一步明确了求平均数的基本方法，这为后续运用平均数解决问题奠定了算法基础。

2.操作——展示“平”出的平均数

算出的平均数“13”，给学生的印象是抽象又摸不着的“虚拟数”，怎么让学生真切感知“13”的真实性？俞老师设计了“移多补少”的操作环节，借助学具的演示，让学生真实感受到平均数“13”是怎样被“平”出来的过程。“13”在被“平”出的过程中，不仅让学生体会到求平均数的实质就是“移多补少”，而且，让学生发现平均数“13”就藏在这组数据中。

3.比较——突出“比”出的平均数

学生通过“算”与“平”，不仅掌握了求平均数的不同方式，更从两个不同角度认识了平均数。为进一步加深學生对平均数“代表了，没出现”的理解，俞老师还通过数据内各数据之间的比较与分析，让学生在“比”中发现“13”为什么具有“正正好”又“没出现”的特性。这不仅体现了平均数是代表一组数据整体水平的特点，也让学生在“比”中理解平均数可能是“虚拟数”这一显著特征。

三、拓展——拓平均数“运用”之路

【教学片段】

师：同学们，6和4这两个数的平均数是多少？

生：5。

师：这么快呀，怎么得来的？

生：（6+4）÷2。

师：再来一个，1、3、5这三个数的平均数是多少？

生：3。

师：这么快呀，怎么来的？

生：（1+3+5）÷3。

师：还有不同的方法吗？

生：1+2=3，5-2=3。

师：一条河平均水深4米，请问这条河最深有几米，你知道吗？

生：最深6米。

师：有可能吗？

生：有可能。

师：你觉得最深有几米呢？

生：不知道。

师：能估计吗？平均水深4米，它一定是4米深吗？可能是几米？

生：1米。

师：也可能是几米？

生：6米。

师：因为河水可能有很深的地方，也可能有很浅的地方。现在把这条河重新修整一下，把它变成平均水深1米，那你们走过去安全吗？

生：不安全。

师：你多高？

生：1米3多。

师：1米3还不走呀？

生：怕呛到水。

……

【教学赏析】

运用平均数解决问题是学习目标之一，怎样让学生既能运用平均数解决标准的数学问题，又能运用平均数解决一些现实的生活问题呢？对于标准的数学问题，大部分教师在课堂教学中都完成得比较好，而运用平均数解决生活问题往往不容乐观。究其原因，与学生对平均数概念的理解水平相关。为了发展学生运用平均数解决实际问题的能力，俞老师设计了三个层次的练习。

第一层：巩固练习，巩固平均数常态算法。通过求两个数、三个数的平均数练习，引导学生熟练地掌握求几个数的平均数，就是求这几个数的和除以这几个数的个数所得的商的基本算法。数据虽然简单，目的却很明确，就是突出平均数基本算法的重要性。

第二层：引申练习，强化对平均数意义的理解。“平均4米深的河，最深几米”的练习，看似在找极端数，实质是引导学生理解平均数是“代表了”一组数的整体水平。同时，也引导学生发现数据之间是存在差异的，数据可能有“高高低低”的现象，帮助学生理解平均数“虚拟”特性。

第三层：拓展练习，深化平均数的现实意义。从“平均水深1米”到“你走过去安全吗”的现实问题，必然会引发学生思考，身高“1.3米”是否能安全通过呢？此时，学生仅凭直觉无法说服他人，运用平均数的本质特征解释和说明成为首选，这不仅促进了学生理解平均数概念内涵，更重要的是引导学生学会用数学眼光思考问题、分析问题、解决问题。

俞正强老师执教的“平均数”一课，巧妙地整合学生的经验到所学的数学知识中，学生所学的数学知识是其已有经验的改造，这种通过改造得来的知识是从学生已有经验中生长出来的，有根有源，将来必然会根深叶茂。

参考文献：

[1]俞正强.从“正常水平的发挥”到“平均数”的理解[J].教学月刊·小学版（数学），2016，（3）.

（安徽省黄山市黄山区教研室 245799）