《最短路径问题》微课程设计

李翠芝

分析

《最短路径问题》是人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》的第四课。本节课是学生在学习完轴对称后，为让他们能灵活运用轴对称解决最短路径问题而设计的。教学内容是利用学生刚刚学习过的轴对称，把在直线同侧的两个点转化为在直线异侧的两个点，化折线段为直线段，从而找到最短路径。因此化折为直是本节课的重点。

本节课是学生首次遇到“线段和最小”问题，学生的储备知识是已经学习了关于两点之间最短距离的确定和轴对称的性质，但是学生的知识迁移能力不强，自主探究能力差，需要教师设计合理的探究问题，引导他们学会探究的方法。对于问题的证明，本节课涉及的辅助线比较多，而目前学生的证明多为比较简单的说理，涉及的辅助线一般为一条。这就需要教师把问题分解成一个个的小问题，从简单到复杂，使学生水到渠成地完成知识的学习。因此，学会知识迁移和化繁为简是本节课的难点。

综上所述，笔者确定本课学习目标为：①能利用轴对称解决简单的最短路径问题；②能体会图形的变化在解决最值问题中的作用；③能感悟化折为直的转化思想。本课重点为：利用轴对称，确定最短路径的作图，将最短路径问题转化为线段和最小问题；难点为：探索发现“最短路径”的方案及说理。

基于对教材的分析和对学生学情的了解，笔者将本节课的“将军饮马部分”制作成微课程，设计了“课前自主学习任务单”，并制作了配套的微视频供学生在课前自主学习使用。

设计

1.课前自主学习任务单

课前学习任务单主要为了指导学生自主学习，这需要教师把教学目标转化为达成目标，而达成目标必须通俗易懂、指向性强，才能让学生根据达成目标完成课前学习任务。在学习内容上学生以了解基础知识为主，所以笔者设计的任务也相对简单直接。例如，会找点仅是文字与图形之间的简单转化；看过视频后，学生基本能直观地看到点在移动过程中的最佳位置；为了适应不同能力的学生学习，笔者还设计了一个相对复杂的图形，增加了干扰线并改变了点的位置，只要学生能找到与原问题对应的点就算过关。为了让学生熟悉上课流程，笔者还在课前自主学习任务单中给出了课堂学习形式预告。

2.教学视频规划

教学视频是为突破本课难点而设计的。对学生来说，难点在于探索发现“最短路径”的方案，理解最短路径的推理。虽然教材引用了将军的问题、数学家的答案，但面对大量艰涩、难懂的文字，学生依然难以引发共鸣。为此，笔者设置了一个故事情境，将军的问题、士兵的主意等故事更能引起学生的共鸣。同时，笔者还适时运用了几何画板进行动态演示，对学生的视觉产生冲击，增强其理解的深度。

第一部分，先声夺人。笔者用一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”导入本课，让学生感觉数学不仅有理性，还有诗意。将军要想找到最短路径，解决棘手问题，就必须从军营中选拔人才，这个问题会激发学生的热情，使其自然而然地参与其中。武将张三要走上百十遍，文官李四固守成规要把营地搬家，虽然方法都不可行，但学生会从不可能中受到启发，找到最佳方案，于是量变引起了质变，新的知识点诞生了。这样的设计容易引起学生的共鸣和思考，使问题变得生动、现实，更能激发他们的探索兴趣。

第二部分，笔者用几何画板进行演示，通过“移动点带来的线段和的变化”使问题变得更直观、易懂，从而突破了本节课的难点。

第三部分，笔者通过两个变式训练让学生了解在解决最短路径的问题时，经常用到做轴对称的作图方法。

第四部分，学生总结蕴含在推导过程中的数学思想和方法，并建构自身的知识体系。

3.课堂学习任务单

相比课前的自主学习任务单，课堂学习任务单的达成目标要更深入一些，要求学生能演绎推理，解决常规课堂中理解不透的难点，解决生活中的实际问题，从而使达成目标更加深入。如学生能理解证明最短距离的推理过程，就能解决生活中简单的最短路径问题。

本課笔者共设置了4个达成目标，达成目标1、2主要用于课始检测。课始检测主要解决P的位置，确认对哪些线段和进行比较（如图1），AP+BP和AP+BP分别转化成了哪些线段（如图2），最后尝试写出作图方法，说出简单理由。这些问题层层递进，利用图形可以把一个个难点拆解，既可以为完成证明做好铺垫，又可以让学生体验到学习的成就感。

达成目标3主要用于进阶作业，进阶作业主要设计了两个：一个是课前学习任务的延伸，由会找对应原问题中的点、线，到会做轴对称，最后到会找最短路径；另一个是对推理过程的进一步补充完善，这也是本节课的难点。

达成目标4主要用于协作探究。协作探究属于教材知识的变式训练，由“两条线段和最短”变为“三条线段和最短”，应用的知识点依然是利用轴对称作图，让学生感受到殊途同归的解题思路。

如果没有学生的展示，教师就看不到学生真正的问题，也看不到学生学习中迸发的智慧。所以，本课的最后一个环节就是小组展示，笔者根据课堂的进度，展示各小组的学成度。

制作过程

为了帮助学生顺利完成“课前自主学习任务单”中设置的学习任务，笔者制作了相关微视频。笔者首先将微视频中所需要的静态知识呈现在Office 2016的PPT上，动态知识呈现在几何画板上；接着利用Camtasia Studio8.4录屏软件进行录制并同步配音，剪去错误的部分，并对两个视频进行合并编辑；然后进行渲染，生成视频；最后以MP4的格式发布，时长5分50秒。笔者在录制中使用了软件的高级功能，如放缩功能，去除了干扰项，突出了主讲的图形。

笔者以将军的问题创设情境，以士兵的回答引导学生思考的方向，从而达到知识的迁移“做轴对称”。在几何画板里的动态演示中，如果学生感觉内容多，播放速度快，可以在视频中暂停播放或者回放视频，重复观看，直到完成课前自主学习任务单。

教学应用过程

1.课前学习

在教学前一天，学生根据教师下发的课前学习任务单和微视频，在家完成对教學内容的预习，对照课前自主学习任务单观看视频，最终完成课前自主学习任务单。

①观看视频。在观看过程中，学生可以对视频进行暂停、回看或重复观看，并结合自己的情况进行个性化学习，充分记忆、理解教材的内容。②写摘要。观看微视频时，学生要随时在笔记本上写下自己不懂的部分、学习的心得，甚至想表达的想法，并整理到课前自主学习任务单的“困惑与建议”栏里。③提问题。学生在查阅资料时，延伸思考的问题，并记录在“困惑与建议”栏里，可以在课上讨论备用。

为了更好地完成课前预习任务，教师需要结合班级分组进行激励，鼓励同伴竞争。完成所有任务的小组可获得积分奖励，完不成任务则会影响小组的成绩。

2.课堂探究

在课堂学习过程中，学生先在组内互查课前学习任务完成情况，在互相纠错后，随即进行课堂学习任务单的课始检测，完成后再由一组学生代表陈述答案并讲解作图方法，最后对进阶作业进行处理。进阶作业是课始检测的延伸，前面有了课前学习任务中最后一题的铺垫，此处的难度已经降低了很多，主要以学生处理为主，培养他们运用数学思维的意识。问题的演绎推理部分需要师生共同完成，学生更多的是找出理论依据，接着就是学生大显身手的协作探究部分，两个变式训练让课堂走向了高潮，有的小组不仅演示了正确的画法，还能说出作图的理由，甚至还把查到的资料引用到变式练习中。在展示中，学生感受到成功的喜悦和同学间思路的差异，从而激发了他们的竞争意识。

评价与反思

微视频的动态呈现容易激发学生的学习兴趣，有利于他们进行自主学习；尤其对“点动引起的线段和变化”的内容来讲，教师通过对微视频进行后期剪辑和技术处理，可以大大缩短学生探究所需的时间，使每位学生都能通过微视频更清晰地观察到“最短路径”存在的位置，能达到先认可后证明的心理接受效果，有效克服教师课堂上用“假设另一个点存在”的反证法导致的学生不适应现象。

在学生自主学习的基础上，“微课程教学法”把课堂教学活动规划为课堂检测、进阶作业、协作探究、展示质疑四个环环相扣的环节，教学结构安排合理，资源得到优化整合，学生的潜力被激发出来。

笔者在反复的设计与试讲中，得到了很多教师的点评与建议，受益匪浅，总的来说感悟如下：①问题设计要有启发性，要让学生真正有所思考，并且经过思考后得到结论，要把难的问题拆分成简单的小问题，化繁为简，一步步解决。②课堂引入要生动，要吸引学生的眼球。③调动旧知识环境，衍生新知识，这样有利于学生形成数学思维体系，所学的内容也不会让学生感觉跨度过大，而是自然而然得到。④教学内容应该环环相扣。⑤教学中应注重建模思想。

评委印象

《最短路径问题》微课程展评引起关注的原因主要有以下几点：①有趣。李老师上课伊始即引入古诗，引起学生关注，接着用生动的故事引出问题，激发了学生对古诗中问题的探索，可谓先声夺人。②直观。微视频是学生自主学习的资源，图文并茂、形象直观的视频让学生更易于观察、理解，从而降低自学思考的难度。③简洁。微视频画面简洁，色彩搭配自然、和谐，内容重点清晰、突出，几何画板的运用，动静结合，使变化过程和问题结论一目了然。④有层次。知识的学习、应用和拓展探究，体现在课前自主学习任务单导学和课堂学习任务单的设计上，问题环环相扣，逻辑层层递进，引导学生步步为营，在一个个任务的完成中达成目标，在一个个问题的解决中体验探究的历程、合作共享的快乐与成功解决问题的自豪。

《最短路径问题》微课程带给我们以下几点启示：①微课程的选题。宽泛地说，适合自学的内容均可以做成微课程，然而作为参赛的优秀微课程不能忽视微视频的趣味性和直观性。趣味性和直观性既是学生自主学习最基本的要求，也是在无人监管学习环境下引导、调动学生学习兴趣的最佳资源。发挥视频直观性优势和画面动态变化特点，解决难点、突出重点有助于降低学生自学思考的难度，而这一点也是一些教师微课程选题过程中所容易忽视的。②微课程的制作。微课程的制作画面要美观大方才能引人入胜。简洁大方、和谐自然的微课程画面，有利于学生自学，这也是优秀微课程必不可少的。部分教师用视频代替板书，个别教师为吸引眼球而插入与主题无关、没有意义的画面甚至动画，这非但没有起到帮助学生学习的效用，甚至干扰和分散了学生学习的注意力。③微课程的应用。从学生应用的视角看，微课程方便学生自学，促进学生易学和乐学，这也是参赛微课程不能忽视的一部分。

（马建辉 NOC活动评委/山东省东营胜利教育管理中心）