大型k/N系统维修资源优化配置模型

武高卫，杨江平，王永攀，侯晓东

(空军预警学院, 湖北 武汉 430019)

大型k/N系统维修资源优化配置模型

武高卫，杨江平，王永攀，侯晓东

(空军预警学院, 湖北 武汉 430019)

为解决大型k/N系统维修资源的配置问题，建立了一种维修资源优化配置模型。首先，根据大型k/N系统故障单元的维修特点提出了批量m维修策略，并基于此策略建立了k/N系统使用可用度模型，利用MQ/M/c排队理论对影响系统使用可用度的关键指标进行了计算和修正；然后，建立了由多个k/N系统组成的复杂装备的多种维修资源的优化配置模型，采用边际效应分析法对多种维修资源进行综合优化；最后，通过算例仿真与分析对所提出的模型进行了验证。结果表明，所建立的模型具有一定的可行性与有效性，能为装备维修保障人员提供决策支持。

批量m维修策略；k/N系统；维修资源；排队理论；边际效应；使用可用度

0 引言

维修资源是实施装备维修保障工作的物质基础和重要保证，无论平时训练还是战时抢修，维修资源都占据着十分重要的地位，不仅直接影响着装备的全寿命周期费用和费用效果，还影响着装备的战备完好性以及部队战斗力的保持和恢复。如何合理地优化维修资源配置，是装备维修保障所必须解决的一个重要问题[1]。

自1968年Sherbrooke提出经典的METRIC(multi-echelon technique for recoverable item control)模型理论以来，众多学者对以备件和维修设备为核心的物力维修资源的优化配置研究作了大量工作。文献[2-4]研究了串件拼修对策的备件优化配置；文献[5-6]研究了在多种约束条件下的多级备件配置优化方法；文献[7-8]根据M/M/C排队论，建立了维修渠道(维修设备)对装备可用度的优化模型。然而由于METRIC模型是基于(S-1，S)库存策略进行备件的请领和故障单元的送修，因此以上模型只针对一般的串、并联系统组成的装备的维修保障进行分析。

为了满足高可靠性和高可用度的要求，许多大型复杂装备都采用k/N系统冗余结构[9]。对于这类系统，维修策略和维修资源在很大程度上影响着系统的使用可用度，以往学者也进行了比较深入的研究。文献[10]针对两级维修体制，建立了k/N系统可修复备件的优化模型；文献[11]通过引入修理概率，分析了可修复备件存在报废的情况下k/N系统的备件优化问题；文献[12]提出了一种简单的视情m维修策略，并建立了维修策略下的k/N系统使用可用度模型；文献[13]针对实际维修活动中备件有限的情况，提出了(m，NG)维修策略，并进行了使用可用度分析；文献[14]采用定时、定数混合截尾寿命，提出(n，L，r，r)维修策略对k/N系统进行了讨论。由于这些文献的研究对象都是小型k/N系统，其前提依然是基于METRIC理论及其改进模型和(S-1，S)库存策略。然而对于某些由k/N系统组成的大型复杂装备，例如由1 600/2 000个T/R组件组成的某相控阵天线阵面，传统的单件维修会使天线的停机次数和时间大大增加，从而严重影响天线的使用可用度。文献[15]针对大型k/N系统的维修特点，提出了一种定时维修策略，为k/N系统预防性维修提供了决策支持，然而不适用于发生故障后的修复性维修。

考虑到大型k/N系统的冗余性设计，即当少数单元出现故障时不影响系统的正常工作，本文提出了批量m维修策略，利用MQ/M/c排队理论对影响使用可用度的关键指标——等待修复时间进行了修正和计算，然后建立了维修资源优化配置模型对以维修设备和现场可更换单元(line replaceable unit，LRU)初始备件为代表的关键维修资源进行了优化分析，并通过算例仿真证实了模型的可行性与有效性。

1 问题描述与假设

1.1 批量m维修策略描述

批量m维修策略是指针对大型k/N系统，当LRU故障数达到m(0

图1 k/N系统维修示意图Fig.1 Sketch map of k/N system maintenance

1.2 问题假设

(1) LRU的故障率和修复率均服从指数分布；

(2) 故障LRU修复如新，无报废；

(3) 维修设备为通用维修设备，可以对所有故障LRU进行修理；

(4) 故障LRU到达修理所后按照FCFS(first come first service)规则接受维修服务；

(5) 维修设备是完好不坏的，不会出现故障而影响维修作业。

2 使用可用度模型

根据GJB1909A—2009[16]定义，使用可用度(Ao)是能工作时间和不能工作时间有关的一种可用性参数。对于连续工作的可修复系统，平均能工作时间和平均不能工作时间分别是能工作时间和不能工作时间的数学期望。则(k/N)i系统的使用可用度Aoi计算公式如下：

(1)

式中：E(Toi)为(k/N)i系统正常工作时间期望；E(Tdi)为LRUi备件运输时间期望；E(Tsi)为LRUi备件更换时间期望；E(Tri)为等待故障LRUi修复时间期望。

设LRUi的故障率服从参数为λi的指数分布，则由指数分布规律得，(k/N)i系统的正常工作时间期望为

(2)

E(Tdi)可由经验得知，E(Tsi)可由下式求得：

E(Tsi)=tsoi+mitsi，

(3)

式中：tsoi为更换故障LRUi所需的准备时间，例如更换某相控阵天线阵面的T/R组件时准备维修工具和架设天线维修架所需时间；tsi为每个故障LRUi的平均更换时间。

下面重点讨论E(Tri)的计算方法。

(1)SOHi≥mi时，仓库备件充足。当(k/N)i系统出现故障时只需从仓库请领备件并进行换件维修即可排除故障，即

E(Tri)=0.

(4)

(2)SOHi

假设修理所有c组维修设备，修复时间服从参数为μi的指数分布。文献[17]提出：

(5)

式中：qi为需要维修的故障LRUi数。

然而，对于批量m维修策略，等待修复时间不仅与需要维修的故障件数目有关，还与所有等待维修的故障件数目有关。

定义2： 记Pi(vi)为修理所中有vi个故障LRUi等待维修的稳态概率。

则等待修复时间E(Tri)表示为

(6)

式中：Si为LRUi的初始备件数。

(7)

设修理所有c组并行的维修设备，故障单元批量m送修，每批送修数量为Qi(Qi=mi)，批与批之间的到达间隔服从参数为Λi的指数分布；同一批到达的故障单元按随机顺序接受维修服务，维修设备对每个故障单元的维修时间t服从参数为μi的指数分布。如图2所示，修理所只有一个排队队列，送修过程与维修过程相互独立。当某一批故障LRUi送达修理所后，若Qi>c，c个故障LRUi进入维修作业，Qi-c个故障LRUi等待维修；当某个维修设备完成其对故障LRUi的维修时，维修队列中的故障LRUi依次进入维修设备接受服务，直到该批所有故障LRUi维修完毕。则定义该维修过程为MQ/M/c/∞排队过程，可见，MQ/M/c排队模型是一种特殊的Mξ/M/c排队模型，即ξi服从分布：

E(ξi)=Qi,D(ξi)=0.

(8)

每批次故障LRUi的到达率为

(9)

图2 故障LRUi维修过程Fig.2 Maintenance process of failed LRUi

2.2.1 服务强度ρ

服务强度ρ描述了维修设备的繁忙程度，ρ越大，维修设备越繁忙。当ρ<1时，排队系统能够到达平衡状态，存在稳态分布；当ρ≥1时，排队系统不能达到平衡状态，即该系统不能构成概率分布。

MQ/M/c/∞排队系统的服务强度表达式为

(10)

2.2.2 队长稳态概率Pin

当排队队长Ni(t)处于[0，Si]中的任意状态时，(k/N)i系统正常工作且有Λi的概率故障，即mi个故障LRUi有Λi的概率进入维修队列；当排队队长Ni(t)>Si时，mi个故障LRUi已经进入维修队列，(k/N)i系统因故障停止工作，因此不会再有故障LRUi到达。显然Ni(t)不会大于Si+mi，设t=0时Ni(t)=0，则{Ni(t)，t≥0}的状态空间为{0，1，2，3，…，Si+mi}。另外，当(k/N)i系统故障时，整个天线阵面停止工作，(k/N)j系统不会发生故障，因此在等待故障LRUi修复的过程中故障LRUj不会到达修理所，即故障LRUj的维修不会受到故障LRUi的影响。当0

根据队长Ni(t)的状态转移图可以得出Pin的一步转移概率表达式：

(11)

(12)

根据递推公式，求解得出Pij：

Pij=

(13)

图3 队长Ni(t)的状态转移图Fig.3 State transition diagram of Ni(t)

(14)

至此，Pi(vi)可用Pij表示出来。

3 维修资源优化配置模型

3.1 模型建立

对于一个由l个k/N系统构成的复杂装备，以整个装备使用可用度为约束条件，以维修设备和各项LRU初始备件的总费用最小为优化目标，建立优化模型：

(15)

式中:C为所有维修资源配置总费用;co为每组维修设备的单价;c为维修设备的配置数量;ci为LRUi的单价;Si为LRUi的初始配置数量;Ao为整个装备的使用可用度;Aoi为(k/N)i系统的使用可用度。

3.2 模型优化算法

本模型采用边际效应分析法对天线阵面维修资源进行优化。边际效应分析法的思想是通过比较每项资源追加一件时所带来的效能增益和费用增益，从而得出最大效费比项作为本次迭代的最优项，并作为下一次迭代的初始项。具体算法如下：

Step 1 初始化维修资源向量，令B=(c，S1，S2，…，Sl)=(1，1，1，…，1)。

4 算例仿真

设某相控阵雷达天线阵面由2个k/N系统组成：T/R组件和组件控制模块，其基本参数见表1。每台维修设备购置费用为co=50万元。

表1 天线阵面LRU基本数据

本文基于批量m维修策略对等待修复时间E(Tr)的计算进行了修正。图4分别给出了T/R组件在备件数量一定和维修设备数量一定的情况下2种方法的对比计算结果。这2种方案的差异是由于考虑了队长的稳态概率的影响。至此，图5给出了利用本文的使用可用度模型计算出的T/R组件使用可用度随维修设备数量和备件数量变化的三维曲线平面图。

从图5可以发现，仅就一种LRU而言，单纯通过分析使用可用度随维修设备数量和备件数量的变化情况已经难得出最佳的维修资源配置方案，当涉及多种LRU时则更加不准确。因此，本文依据第3节中所建立的优化配置模型，利用边际效应分析法对维修设备、T/R组件和组件控制模块进行优化仿真，得出如图6所示优化曲线。图中曲线可以大致分为3段：随着C的增加，第1段中Ao的增大主要由维修设备引起，相间有少量T/R组件和组件控制模块的增加；第2段主要由组件控制模块引起；第3段则主要由T/R组件引起。据此可以得出结论：当费用不足时，通过增加维修设备的配置可以得到更高的性价比，随着可支配费用的增加，可通过依次优先满足维修设备、组件控制模块和T/R组件的顺序进行维修资源的配置。按照天线阵面使用可用度不小于0.95的要求，得出优化结果如表2所示。

图4 2种方法的等待修复时间对比Fig.4 Comparison of E(Tr) with the 2 methods

图5 使用可用度随维修设备和初始备件变化规律Fig.5 Change law of Ao with c and S

图6 使用可用度随总费用变化曲线Fig.6 Curve of Ao with C

表2 天线阵面维修资源优化结果

Table 2 Optimization result of antenna planar array

maintenance resources

维修资源维修设备/组T/R组件/个组控模块/个AoC/万元9272500.9504881.4

5 结束语

本文针对大型k/N系统故障单元的维修特点提出了批量m维修策略，然后基于此策略，通过建立使用可用度模型，利用MQ/M/c排队理论对影响系统使用可用度的关键指标进行了计算和修正；通过建立维修资源优化配置模型，利用边际效应分析法解决了在满足使用可用度要求时谋求最小费用的多种维修资源的优化配置问题；通过算例仿真与分析，证实了模型的可行性与有效性，能够为装备维修保障人员提供理论依据和决策支持。在实际维修保障活动中，不仅面临LRU及其维修设备的配置问题，还需要考虑车间可更换单元(shop replaceable unit，SRU)的配置问题；另外，与之对应的串件拼修维修策略对维修资源配置的影响不可忽略，对这些问题的求解将是未来研究的重点。

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Optimal Configuration Model for Largek/NSystem Maintenance Resources

WU Gao-wei, YANG Jiang-ping, WANG Yong-pan, HOU Xiao-dong

(Air Force Early Warning Academy,Hubei Wuhan 430019, China )

Aiming at the configuration of largek/Nsystem maintenance resources, an optimized configuration model is established. Firstly, the m-batch size maintenance policy is proposed based on the characteristics of largek/Nsystem, and an operational availability model ofk/Nsystem is set based on the maintenance policy. Some key targets of operational availability are calculatedand modified adoptingMQ/M/cqueueing theory. Then, an optimized configuration model of multi-maintenance resources of intricate equipment composed of kinds ofk/Nsystem is established, and multi-maintenance resources are optimized by using marginal effect analysis. Finally, analysis of one instance is conducted to verify the proposed models, and the results show that the models are feasible and effective, and can provide a decision-making support for equipment maintenance support personnel.

m-batch size maintenance policy;k/Nsystem; maintenance resources; queuing theory; marginal effect; operational availability

2016-02-23；

2016-04-08 作者简介：武高卫(1991-)，男，河北邢台人。硕士生，研究方向为预警装备综合保障技术。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.029

E92; TP391.9

A

1009-086X(2017)-01-0173-08

通信地址：430019 湖北省武汉市黄浦大街288号研究生21队