用于基坑自动测斜的圆柱螺线模型的改进

邓远，朱建良，秦亚杰

(南京理工大学自动化学院，江苏 南京 210094 )

0 引言

岩土工程中的深基坑工程是一个传统而复杂的研究课题。近几十年来，世界上很多发达国家发展了多种深基坑开挖和支护的监测理论，对此类问题制定了国家级的规范[1]。基坑的开挖过程、支护结构、施工工况、周围环境都会影响基坑变形[2]，影响因素过多导致难以用理论进行定量计算。地下位移监测是深入岩土内部进行位移监测[3]，在施工期间，需要将监测值和预期值进行比较，根据对比结果及时调整施工策略，以保证基坑的稳定性和加固结构的合理性。

基坑位移监测的传统方法是利用人工测斜仪，采用折线法，其测量原理是：一个测段的两头用长条固定，长条的长度为L，测斜仪中的传感器测出长条与铅垂线的夹角θ，则由该测段的水平位移Si(i= 1,2,…,n)计算得出

ΔSi=Lsinθi

(1)

将所有的测段位移求总和，即为该基坑监测点的地下水平位移量S。

但是人工测斜仪在实际工程中，监测不便，成本较高[4]。每次测量均需工作人员记录大量的数据，再统一计算分析，不仅要组织专人定期监测，而且工作效率较低，耗费工时长，导致信息更新滞后。在下降测斜仪的过程中，遇到产生较大位移变形的岩土体，测斜仪的探头无法下放，有时甚至会导致钻头报废。当测斜管达到极限弯曲[5]后，测头无法通过该部分测量以下的位移量。测量过程中会出现零点漂移偏置和零点漂移误差[6]。

1 自动测斜方法

针对人工测斜仪耗费大量时间和人力且信息更新滞后的问题，研究出一种基于高精度加速度传感器的自动测斜方法，利用测点的角度信息计算整体的水平位移量。

依据基坑位移监测的方法选取监测点并布置自动测斜装置，接着在选定的监测点上钻孔，放置测斜管深入到稳定基岩层[7]进行测量。地面上钻孔入口的点是固定点，为测点0，安置在地下的测点依次设为测点1、测点2……测点n直至底部，测点间距都为L。测段定义是：测点0到测点1为测段1，测点i-1到测点i为测段i，以此类推，如图1所示。

图1 自动测斜方案

图中L表示测段的长度，每段等长；X表示有若干个监测点，所有监测点使用相同的自动测斜方法。

基坑的自动测斜方法为：根据测点之间的距离设定L值和传感器测得的测点的角度信息，计算出测段的位移信息。难点在于离散的测点信息已知，测段的弯曲情况未知，这就需要用数学模型解析，由测点信息得到一条连续光滑的测段位移曲线，建立符合工况的测段轨迹模型。这类数学模型在定向钻井工程领域已有比较先进的研究成果。测段之间的轨迹模型大致分为两大类：第一类，测段形状是直线，这类模型计算方法误差较大，在定向钻井设计中已被淘汰[8]；第二类，测段形状是曲线，曲线模型计算方法又分为斜面法和圆柱法。斜面法包括最小曲率法[9]和弦步法[10]，圆柱法包括自然参数法[11]和圆柱螺线法。

在基坑水平位移监测工程中，先在监测点上钻孔，钻柱和钻头总是顺时针旋转，整个钻眼轴线更趋近于柱面螺旋线。沿着钻孔方向下放测斜管的过程中，会遇到岩土变化产生的不规则凸出，导致测斜管要经过扭转变化才能安装到位。原本圆柱螺线法在定向钻井设计中就用于钻头产生扭转的情况，现将其应用在基坑水平位移监测中，情况相似，假设合理。

2 圆柱螺线算法的改进与应用

圆柱螺线法模型的假设条件是，两个测点间的测段是一条等变螺旋角的圆柱螺线，螺线在两端点处与上下两测点间的方向线相切。等变螺旋角是指螺线升角的变化与螺线长度L成正比，即dα/ dL=常数。

2.1 圆柱螺线法基本公式

所有测段的计算方法一致，以测段2包含测点1、测点2为例，说明圆柱螺线算法在测段计算中的应用。圆柱螺线的水平投影图是圆弧曲线，根据dα/dL=常数，垂直剖面图必然也是圆弧曲线，α表示测点的井斜角(轨迹行进方向与铅垂线的夹角)，φ表示测点的方位角(以正北方位为基准，顺时针旋转至行进方位线转过的角度)，测点1、2之间圆柱螺线长度为ΔL，如图2所示。

图2 圆柱螺线法剖面图

图中α1和α2分别表示测点1和测点2的井斜角，Δα表示两点的井斜角之差，Δφ表示两点的方位角之差，水平投影图的坐标轴E表示正东方向，N表示正北方向。

由剖面图可知，先计算测段在垂直剖面上的曲率半径RV和水平投影上的曲率半径RH，再由此计算测段增量。

(2)

(3)

ΔDZ1=RV(sinα2-sinα1)

(4)

ΔSN1=RH(sinφ2-sinφ1)

(5)

ΔSE1=RH(cosφ1-cosφ2)

(6)

其中：Δα=α2-α1；φ1和φ2分别表示测点1和测点2的方位角，Δφ=φ2-φ1；ΔSZ1表示测段1的垂深增量,ΔSN1表示水平投影的正北方向增量，ΔSE1表示水平投影的正东方向增量。

假设测点1的垂深、正北位移、正东位移信息SZ1、SN1、SE1是已知量，加上对应方向上的增量就可以得到测点2的位移信息SZ2、SN2、SE2，同理，就能计算得到测点3、测点4……直至测点n的位移信息。

2.2 算法改进

首先，在基坑监测工程中，垂深增量可以用GPS沉降仪准确测量，因此舍弃原先圆柱螺线法中的垂深分量ΔSZ，只保留正北分量ΔSN和正东分量ΔSE。

其次，ΔSN和ΔSE的分母均为ΔαΔφ，当Δα和Δφ为0或者逼近于0时，计算机除法可能会溢出，导致计算异常[12]。在工程应用中，为了减少出现错误的概率，要尽可能降低程序的逻辑复杂度，因此需要改进算法，将计算公式简单化。

原有的圆柱螺线法分量ΔSN和分量ΔSE公式换种表达方式。

(7)

(8)

(9)

(10)

将式(9)和式(10)分别代入平均角表达式(7)和(8)中，得:

(11)

(12)

式(11)和式(12)相比圆柱螺线法式(5)和式(6)，统一处理了仅Δα=0、仅Δφ=0以及Δα与Δφ同时等于0的三种情况，降低了编程的逻辑复杂度，同时避免了Δα和Δφ逼近于0时，计算机除法溢出的情况。所有测段的正北和正东增量都可以用这两式进行计算，测点0人为规定(直接取地面上钻孔的点)，即SN0和SE0都等于0，通过式(11)和式(12)计算得到测段1到测段n所有测段的正北增量和正东增量，将增量求和得到总的正北位移量SNn和正东位移量SEn。

2.3 工程应用

在基坑工程的岩土变形监测中，简化后的圆柱螺线算法计算得到的是正北位移量SN和正东位移量SE，而工程需要的是某一个方向上的水平位移量。因此，需要坐标系转换，以正北和正东分别设定为Y′轴和X′轴建立坐标系，将测得的正北和正东偏移量显示在坐标上，为点P。如果需要基坑在某一个方向上的水平位移量，先测量出这个方向和正东方向的夹角θ′，再将这个方向设为X轴，重新建立直角坐标系，计算点P在新的坐标轴下，投射到X轴上的坐标量PX，即所求的某一方向上的水平位移量S，如图3所示。

图3 坐标系转换

在实际工程应用中还要注意以下问题：

1)方位角校正

工程中方位角的测量使用的是磁性测量仪器，此时测得的方位角是以磁北方位为基准的。磁北方位线是地磁的正北，与地理上的正北方位线不重合，两者之间的夹角称为磁偏角δ[13]。

另外，我国轨迹计算和绘图中使用的平面直角坐标系是高斯直角坐标系，相比于大地坐标系，高斯平面上任何一点都有其子午线收敛角γ。

方位角校正公式：φ′=φ-δ-γ。

2)井斜角等于0的情况

当测点的井斜角测量值为0时，投影到水平面是一个点，此时它的方位角是不存在的。为了能够进行计算，该测点方位角的取值就等同于邻近的测点。

3)特殊段测段1的计算

基坑水平位移测量工程中，测点0是人为规定的，通常取为接近地面的一点，因此在对测段1进行计算的时候，相比整条误差曲线，误差值会出现一个突变。应对方法是：将测点0的井斜角和方位角都设为测点1的1/2，同时尽可能减小测点1和测点0之间的测段长度，这在后面的图4中有所体现。

3 仿真实验

3.1 Matlab仿真和误差分析

为了初步验证圆柱螺线算法的合理性，先假定每个测点的方位角φ都等于0，即将圆柱螺线曲线特殊化，在以正北为X轴，垂直方向为Y轴的平面上进行误差分析。此时测点的井斜角就是平面曲线上该测点的斜率。

如果不考虑中间测段的形变情况，只通过测段两端计算测段位移量，即采用传统的测斜仪中的折线法ΔSi=Lsinθi,i=1,2,…,n。分别将圆柱螺线法仿真曲线和折线法仿真曲线与基坑位移-模拟曲线做差值运算，得到两个方法的误差值。两者对比，可知圆柱螺线法相对误差比折线法更小，在反映水平位移量的真实度和形变趋势上更为准确。如图4所示。

图4 误差对比曲线

由此可知，仿真设定最大水平位移量为1 m的前提下，圆柱螺线法基本上贴合基坑位移模拟曲线，而原先的折线法误差浮动相对较大，在反映水平位移形变趋势上不如圆柱螺线法。其次，可以看到特殊点测点0人为规定值后，圆柱螺线法在测段1计算时没有出现特别大的突变误差，且突变误差不超过1 cm。以上结果是圆柱螺线法的特殊情况，不考虑方位角，在一个水平面上的误差分析。由此在理论上可以推测，在基坑水平位移监测工程中，圆柱螺线法相比折线法精度要高。

3.2 实验数据对比

在某高校土木工程系建立的模拟基坑实验室中分别采用折线法和圆柱螺线法进行自动测斜。相对于折线法计算出的数据，圆柱螺线算法测算的数据与模拟基坑的实际位移量更接近，并且由于传感器的精度，在计算水平位移量时，小数位要精确多一位，对岩土形变感知的灵敏度更高，对比结果见表1。

表1 圆柱螺线法和折线法的数据对比 mm

由此可以得知，使用圆柱螺线法测算的所有测段的水平位移量，误差平均值为0.616 5 mm，标准差为0.910 6 mm。使用折线法测出的数据误差平均值为1.508 8 mm，标准差为1.675 9 mm。由此，圆柱螺线算法的优越性得以体现，在实际位移监测工程计算中比折线法精度更高，更贴近实际基坑水平位移情况。

4 结语

1)传统的人工测斜仪监测不便，费时费力，基于加速度传感器研究出一种自动测斜方法，实时测量测点信息，测算出测段整体位移信息。

2)在测段的位移量测算上，结合基坑工程的实际应用，对圆柱螺线算法进行简化改进，降低编程的逻辑复杂度，使之适用于工程，同时针对特殊测段进行误差校正。

3)用Matlab进行数据仿真，将采用圆柱螺线法的自动测斜方法测出得到的数据与实际位移数据进行对比，证明了圆柱螺线法测量数据的合理性。将采用圆柱螺线算法和折线法得到的数据进行对比，证明了圆柱螺线法测量数据的准确性。

综上所述，采用改进的圆柱螺线算法的测斜方法，有其合理性和先进性，用于基坑自动位移监测工程时，在保证测量精度的前提下，可实现自动化，节省人力物力。

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