恰当运用“反例”教学

四川省成都市七中万达学校 邱 勇

恰当运用“反例”教学

四川省成都市七中万达学校 邱 勇

反例的运用可以强化推理的严谨性，培养思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，全面提高解题能力，而构造反例，恰好符合初中学生的思维习惯。

反例；构造

数学是一门严谨的科学，它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系。初中学生因为其年龄与知识水平的关系，在学习数学的过程中总有凭借其学习经验妄下结论的习惯，这与数学的本质精神是背道而驰的。根据初中学生的知识水平和思维习惯，我认为在教学过程中渗透反例教学可以比较好地改变学生随意猜测的坏习惯。反例的运用可以强化推理的严谨性，培养思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，全面提高解题能力，而构造反例恰好符合初中学生的思维习惯。我们通常认为找一个反例比找一个证明更需要想象力和创造性，然而初中学生却不同，他们对举反例乐此不疲。举反例的过程，恰好就是他们数学能力逐步提高的过程。

一、运用“反例”可以帮助学生深入理解概念

数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由表及里的改造、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念做辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过列举或构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，从而严格区分那些相近易混的概念，这比仅仅用正面来解读概念要深刻得多。

例如：命题“带有正号的数是正数”。对于这个命题，初中学生仅从经验去做出判断是很容易出现误解的，如果我们引导学生举个反例试试，学生将很容易想到“﹢0”不是正数，“﹢（﹣7）”也不是正数。

又如：学生在归纳绝对值的代数意义时，经常出现“正数的绝对值是一个正数”这样的不准确表述，这时我们只要举出一个反例学生就会马上明白这个表述是不准确的，甚至是错误的，从而进一步归纳为“正数的绝对值等于它本身”这一准确表述。

二、运用“反例”可以帮助学生揭示概念的内涵

教学实践中，我们经常发现一些学生在使用概念时含糊不清，错引滥用，如正多边形的概念：每条边都相等，每个角也都相等的多边形是正多边形”。很多学生认为这个概念中的两个条件可以只取其中一个，我们也可以通过举反例的方式来予以澄清：（1）菱形的四条边都相等，但它不是正四边形。（2）矩形的四个角都相等，但它也不是正四边形。可见正多边形必须满足上述两个条件，缺一不可。

三、运用“反例”可以帮助学生准确把握概念间的关系

例如：“中心对称”和“中心对称图形”就是一对容易混为一谈的概念，对于初学者来说，容易产生这样一种错误的理解，即“中心对称”和“中心对称图形”是等同的概念。其实不然，我们可以构造下面的反例予以澄清。

两个等边三角形“成中心对称”，但等边三角形本身并非“中心对称图形”，究其原因，“成中心对称”是两个图形之间的位置关系，而“中心对称图形”是一个图形本身所具有的一种属性，因而它们是两个不同的概念。

四、运用“反例”可以帮助学生驳斥错误的命题

在命题学习中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效的。更重要的是，长期坚持采用反例来思考问题，有助于学生克服胡乱猜想的坏习惯。我们来看一个七年级学生遇到的命题：“有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的点都表示有理数”。对于七年级的学生来讲，在学习数轴时对无理数知之甚少，但无理数π已经在他们的知识体系中扎下了根。我们只要把无理数π标在数轴上，这个命题就不攻自破了（具体方法是：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点A，点A所表示的数为π）。

五、运用“反例”可以帮助学生正确掌握基本定理

反例可用来说明正确命题的使用范围，这对初学者来说非常有益，不仅能澄清一些错误的认识，对基本定理和基本性质做出正确的理解，也能促使学生们形成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“失之毫厘，谬之千里”的错误。

例如判定三角形全等的边角边定理：如果两个三角形有两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

对于“边角边定理”，学生往往对“边角边”这一条件不完全理解，因而在运用过程中错误地用“边边角”去证明两个三角形全等。事实上，如果我们引导学生亲自去构造两个“两边及其中一边的对角对应相等”的不全等的三角形，就能正确理解“边角边定理”了。

反例的引入、构造可以促使学生对命题进行再分析，重视和体验这样的过程，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力。我在教学实践中，通过“反例”使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识 ，加深理解教材内容 ，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差。合理使用反例还可以使教学更加丰富生动，可以使一些看似困难的问题意外地得到轻松解决 ，可以使学生对教学中出现的定义、概念、定理等理解得更加透彻，并通过这些反例提高学习数学的兴趣。但是值得注意的是，“反例”在教学中的作用也不是万能的，教学中应用“反例”一要注意主次。学生的主要任务是学习概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导。举反例重在说明结构、辨清是非，因此我们不可一味把太多的注意力放在构造或列举反例上，反例应该作为围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段。二要注意适当。反例应是经过挑选的，既要简单又要能说明问题。学生自己构造的反例难度应当适当，以免浪费很多时间和精力。

[1]郭要红.反例的来源与潜在功能[J].数学教学，2003（6）.

[2]李文铭.初等几何教学研究[M].西安：陕西师范大学出版社.

邱勇（1976-10），男，汉族，四川成都人，大学本科，中学数学一级教师，研究方向：数学课堂教学。）