浅谈圆锥曲线解题教学的优化

福建省宁化县第一中学 曹光荣

浅谈圆锥曲线解题教学的优化

福建省宁化县第一中学 曹光荣

圆锥曲线是高考的重要内容。圆锥曲线小题以其构思精巧，重在思维灵活性上取胜。圆锥曲线大题则以其复杂的计算，思维的难度让不少学子望而生畏。如何让圆锥曲线题变得更加“平易近人”，让学生学习起来更有效，做起来能够从容应对呢？除了熟能生巧，多做真题训练以外，更重要的是我们在教学中要帮助学生优化解题步骤与过程，使圆锥曲线小题、大题都能够有地方想，有地方展开思路，从而顺利解决圆锥曲线问题。

一、整体思维，简化解题步骤

整体思维也是一种态度，如学习圆锥曲线时，我对学生说：“圆锥曲线的题目表面上看是计算量很恐怖的难题，但总体上看，却是直线与圆锥曲线的浪漫相遇。它们相遇，相恋，相知，缠缠绵绵的过程在解题过程中淋漓尽致地演绎出来了。”这样就给很难缠的圆锥曲线问题涂上了一些浪漫色彩，使处于青春期的他们爱学乐学。当然，在解题过程中，也常常应用“设而不求”整体代入的技巧，也应用到整体思考判断解题过程。特别是在化简过程中，需要把一些代数式看成一个整体，这样使解题过程特别简洁。下面的例子中我们也会看到这一点。

二、抓住主元化简，可以迅速写出方程

在圆锥曲线与直线联立时，抓住主元化简，能够迅速写出二次方程，使整个化简步骤快捷而且准确。我们来看一个例子。

例1 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（-1,0）。求这类椭圆中与直线l：2x-y+3有公共点且离心率最大的椭圆方程。

如果能够在计算过程中注意观察，就容易发现消去的项，剩下的项，从而帮助学生消除畏惧心理，即：

三、灵活设直线，可以优化解题过程

我们知道，在圆锥曲线大题中，一般第一小题比较简单，主要是求出圆锥曲线的一些待定系数，可以看成是解题热身。第二小题才是真正开始进入状态，这时圆锥曲线可以说是已经固定了，或者说是“死”的，而直线则是“活”的。我们的解题，就是这条“活”的直线围绕“死”的圆锥曲线发生的一系列的“悲欢离合”的故事。对于直线，我们一般情况下是设y=kx+b，这时我们要讨论斜率k不存在的情况。但如果直线过x轴上定点（一般就是椭圆、双曲线、抛物线焦点），那么我们就设直线方程为x=mx+a,这样不仅可以避免讨论斜率不存在的情况，还可以简化计算并化简。同时，也体现了x与y的对等地位，即y=kx+b与x=mx+a体现的是x与y的地位对等。

四、系统化整理下的学习，可以深化理解

我们还要通过知识整理，加强整体思维的训练。如，对于抛物线，我们来研究过焦点的直线,它与抛物线交于A、B两点，与x轴的夹角为θ，则则这八个量之间可以“知二求六”。这里我总结了以下八个公式：③⑥

这样系统化的总结可以加强学习之间的联系，增强对比与区分。当然，知识的系统化是一个需要长期坚持、总结的过程。如，从以上抛物线的公式如何推广到椭圆、双曲线，则在更大层面上建构起系统化的整体思维。

五、善于总结，继续把优化的路走下去

其实，例1也可以转化为平面几何中的求距离最小问题。如我们已知椭圆的左焦点为F（-1,0），则右焦点为F1（1,0）。又问题转化为在直线2x-y+3=0上找一点P，使最小。方法很经典，也很简单：找出F的对称点，连接， 交直线于P，则P为所求点，而

圆锥曲线是一座等待我们开采的金矿，表面上看是不可捉摸的灵活的小题，或者繁杂计算的大题，但其中却蕴含着可以不断优化的思考过程。让我们一起努力，把这座美丽的金山呈现在学生的面前，让他们更加乐学，爱学！