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浅谈圆锥曲线解题教学的优化

2017-08-07福建省宁化县第一中学曹光荣

数学大世界 2017年17期
关键词:大题化简系统化

福建省宁化县第一中学 曹光荣

浅谈圆锥曲线解题教学的优化

福建省宁化县第一中学 曹光荣

圆锥曲线是高考的重要内容。圆锥曲线小题以其构思精巧,重在思维灵活性上取胜。圆锥曲线大题则以其复杂的计算,思维的难度让不少学子望而生畏。如何让圆锥曲线题变得更加“平易近人”,让学生学习起来更有效,做起来能够从容应对呢?除了熟能生巧,多做真题训练以外,更重要的是我们在教学中要帮助学生优化解题步骤与过程,使圆锥曲线小题、大题都能够有地方想,有地方展开思路,从而顺利解决圆锥曲线问题。

一、整体思维,简化解题步骤

整体思维也是一种态度,如学习圆锥曲线时,我对学生说:“圆锥曲线的题目表面上看是计算量很恐怖的难题,但总体上看,却是直线与圆锥曲线的浪漫相遇。它们相遇,相恋,相知,缠缠绵绵的过程在解题过程中淋漓尽致地演绎出来了。”这样就给很难缠的圆锥曲线问题涂上了一些浪漫色彩,使处于青春期的他们爱学乐学。当然,在解题过程中,也常常应用“设而不求”整体代入的技巧,也应用到整体思考判断解题过程。特别是在化简过程中,需要把一些代数式看成一个整体,这样使解题过程特别简洁。下面的例子中我们也会看到这一点。

二、抓住主元化简,可以迅速写出方程

在圆锥曲线与直线联立时,抓住主元化简,能够迅速写出二次方程,使整个化简步骤快捷而且准确。我们来看一个例子。

例1 已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-1,0)。求这类椭圆中与直线l:2x-y+3有公共点且离心率最大的椭圆方程。

如果能够在计算过程中注意观察,就容易发现消去的项,剩下的项,从而帮助学生消除畏惧心理,即:

三、灵活设直线,可以优化解题过程

我们知道,在圆锥曲线大题中,一般第一小题比较简单,主要是求出圆锥曲线的一些待定系数,可以看成是解题热身。第二小题才是真正开始进入状态,这时圆锥曲线可以说是已经固定了,或者说是“死”的,而直线则是“活”的。我们的解题,就是这条“活”的直线围绕“死”的圆锥曲线发生的一系列的“悲欢离合”的故事。对于直线,我们一般情况下是设y=kx+b,这时我们要讨论斜率k不存在的情况。但如果直线过x轴上定点(一般就是椭圆、双曲线、抛物线焦点),那么我们就设直线方程为x=mx+a,这样不仅可以避免讨论斜率不存在的情况,还可以简化计算并化简。同时,也体现了x与y的对等地位,即y=kx+b与x=mx+a体现的是x与y的地位对等。

四、系统化整理下的学习,可以深化理解

我们还要通过知识整理,加强整体思维的训练。如,对于抛物线,我们来研究过焦点的直线,它与抛物线交于A、B两点,与x轴的夹角为θ,则则这八个量之间可以“知二求六”。这里我总结了以下八个公式:③⑥

这样系统化的总结可以加强学习之间的联系,增强对比与区分。当然,知识的系统化是一个需要长期坚持、总结的过程。如,从以上抛物线的公式如何推广到椭圆、双曲线,则在更大层面上建构起系统化的整体思维。

五、善于总结,继续把优化的路走下去

其实,例1也可以转化为平面几何中的求距离最小问题。如我们已知椭圆的左焦点为F(-1,0),则右焦点为F1(1,0)。又问题转化为在直线2x-y+3=0上找一点P,使最小。方法很经典,也很简单:找出F的对称点,连接, 交直线于P,则P为所求点,而

圆锥曲线是一座等待我们开采的金矿,表面上看是不可捉摸的灵活的小题,或者繁杂计算的大题,但其中却蕴含着可以不断优化的思考过程。让我们一起努力,把这座美丽的金山呈现在学生的面前,让他们更加乐学,爱学!

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