“好玩”的素数和双对定律

哈尔滨师范大学研究生 马正方

“好玩”的素数和双对定律

哈尔滨师范大学研究生 马正方

素数问题一直是数论所研究的热点之一。以任何相邻的两个自然数为源头活水，从而揭示所存在的素数概率，并且具有可玩的趣味性，对提高情商有一定的作用。本文推出了三个双对定律和一个素数定律。

素数；概率；修正值；情商

一、关于素数概率

素数（质数）的定义是小学数学课本所讲的知识。然而，素数问题一直是数论这一数学分支所研究的热点之一。

数学大师陈省身说“数学好玩”。数学是宇宙的语言，当然也是其包括社会情况在内的解读。比如，当前二胎政策放开之后，一对夫妻生育子女一般会出现以下三种情况：（1）生两个孩子。（2）只生一个孩子。（3）不生孩子。这样的社会情况，在数学当中也类似地存在着。

中国古典学说认为：奇数属阳，偶数属阴。对于任何相邻的两个自然数来说，必定一个是属阳的奇数，另一个是属阴的偶数，从而奇数偶数互相配合便构成了无穷无尽的自然数。

【素数概率】任何相邻的两个自然数相乘之积加上（或者减去）该两个自然数相加之和，这样所得的两个结果数其素数概率存在三种情况：（1）有两个素数；（2）有一个素数；（3）没有素数，但通过修正值解决。

例1 3×4+（3+4）=12+7=19，3×4－（3+4）=12－7=5；4×5+（4+5）=20+9=29，4×5－（4+5）=20－9=11。如此这般，“3×4”的两个结果数有两个素数：19和5；“4×5”的两个结果数也有两个素数：29和11。

例 2 8×9+（8+9）=72+17=89，8×9－（8+9）=55；18×19+（18+19）=342+37=379，18×19 －（18+19）=342－37=305。如此这般，“8×9”的两个结果数有一个素数：89；“18×19”的两个结果数也有一个素数：379。

例 3 13×14+（13+14）=182+27=209，13×14－（13+14）=182 － 27=155；68×69+（68+69）=4692+137=4829，68×69－（68+69）=4692－137=4555。如此这般，“13×14”和“68×69”的两个结果数均没有素数。

如例3所示，尽管“两个结果数均没有素数”，然而可以通过“修正值”来解决。前面说过夫妻二人第三种情况“没有孩子”，然而这种情况只是当时那样，说不定两个月之后就会有孩子出生了呀！应当用发展的眼光看待事物。如此这般，解决例3没有素数的问题，就是对结果数进行加上或减去修正值2：209+2=211，155+2=157，4829+2=4831，从而解决了没有素数的问题。修正值是数学计算的一种处理措施，同时显示数学奥妙。

如例题所示，可一人独自玩，也可多人通过事前竞猜所约定的两个相邻自然数经过运算所能产生的三种情况，谁猜对了谁为赢者。如此这般，可事先准备好一份现成的《素数表》作为依据，或者运用计算机之类的计算器具检验所得的结果数是不是素数。

如上所述，两个相邻自然数所产生的三种情况具有多样性，不是非此即彼的两面性，从而增加了玩的趣味性和挑战性。所谓素质教育，就是不仅要提高学生的智商，还要提高学生的情商啊！有益的数学游戏就是提高情商的好方法啊！

二、关于双对定律

有一首歌唱道：树上的鸟儿成双对。既然数学是宇宙的语言，数学理应对此类自然现象予以解读啊！

【双对定律】任何公差为2的三项等差数列（当然包括连续的三个奇数或偶数在内）a1、a2、a3，则a1×a2+（a1+a2）=b，a2×a3－（a2+a3）=b，从而两个b成双对。

例1 公差为2的三项等差数列－2.5、－0.5、1.5，则：（－2.5）×（－0.5）+ ［（－2.5）+（－0.5）］=－1.75，（－0.5）×1.5－［（－0.5）+1.5］=－1.75，从而两个－1.75成双对。

例2 公差为2的三项等差数列，即连续的三个偶数8、10、12，则8×10+（8+10）=98，10×12－（10+12）=98，从而两个98成双对。

例3 公差为2的三项等差数列，即连续的三个奇数9、11、13，则9×11+（9+11）=119，11×13－（11+13）=119，从而两个119成双对。

【双对定律2】任何三项的等比数列a1、a2、a3，则a1×（a2+a3）=b，a2×（a1+a2）=b，从而两个b成双对。

例1 三项的等比数列0.5、2、8（公比为4），则0.5×（2+8）=5，2×（0.5+2）=5，从而两个5成双对。

例2 3、15、75这样三项的等比数列（公比为5），则3×（15+75）=270，15×（3+15）=270，从而两个270成双对。

【双对定律3】任何四项的连续自然数a1、a2、a3、a4，则a1×a2+（a1+a2）＝b，a3×a4－（a3+a4）＝b，从而两个b成双对。

例 1 8、9、10、11，则 8×9+（8+9）=72+17=89，10×11 －（10+11）=110－21=89，从而两个89成双对。

例 2 28、29、30、31，则 28×29+（28+29）=869，30×31 －（30+31）=869，从而两个869成双对。

如上所述，数学本来就不缺少好玩，而是缺少发现数学好玩的心灵。敢问好玩何在？就在数学！

三、下面再介绍“好玩”的素数定律

【素数连加之和定律】在无穷的素数系统之中，任何从小到大连续二十项的素数 a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9、a10、a11、a12、a13、a14、a15、a16、a17、a18、a19、a20， 重 新 排 列 成 为 a1、a12、a3、a14、a5、a16、a7、a18、a9、a20、a11、a2、a13、a4、a15、a6、a17、a8、a19、a10，如此这般，前十项各项相加之和与后十项各项相加之和这样的两个和数相差无几，也就是差不多相等，较小和数大于较大和数的百分之九十七。

例1 从小到大连续二十项的素数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71，重 新 排 列 成 为 2、37、5、43、11、53、17、61、23、71、31、3、41、7、47、13、59、19、67、29，前十项各项相加之和：2+37+5+43+11+53+17+61+23+71=323，后十项各项相加之和：31+3+41+7+47+13+59+19+67+29=316，从而323和316相差无几，差不多相等，316大于323的百分之九十七。

例2 从小到大连续二十项的素数5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79，重新排列 成 为 5、43、11、53、17、61、23、71、31、79、41、7、47、13、59、19、67、29、73、37，前十项各项相加之和：5+43+11+53+17+61+23+71+31+79=394，后十项各项相加之和：41+7+47+13+59+19+67+29+73+37=392，394和392相差无几，差不多相等，只相差2。

如例题所示，素数连加之和定律揭示了素数的一般规律。在无穷的素数系统之中进行别开生面的排列组合，使得貌似杂乱无章的所有素数也有规律可循了，并且有趣好玩，从而彰显组合数学的生命力。随着时代的进步，组合数学这一数学分支越来越显示出独到的作用。