硕士生《泛函分析》课程教学的几点建议

刘小佑 许友军 郑玉军



硕士生《泛函分析》课程教学的几点建议

刘小佑1许友军1郑玉军2

（1.南华大学 数理学院，湖南 衡阳 421001；2.湖南科技学院 理学院，湖南 永州 425199）

《泛函分析》是数学类硕士生的一门非常重要的专业基础课程。论文从科研经历及教学实践出发，就地方工科类本科高校中应用数学专业硕士生的《泛函分析》课程教学进行了讨论，并提出了几点有利于提高该课程教学效果的建议。

泛函分析；专业基础课；教学改革

1　引　言

泛函分析是从变分法、积分方程、微分方程、逼近论和理论物理的研究中发展起来的一个数学分支。它综合地运用分析、代数和几何的方法，研究无穷维线性拓扑空间和这类空间之间的各种映射的一般性质[1]。作为现代数学的一个重要分支，泛函分析在20世纪四五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的学科。在其发展的过程中，它与其他学科相互渗透，广泛应用于几何、拓扑、微分方程、计算数学、最优化理论等数学分支中，还广泛应用于连续介质力学、量子场论以及工程技术等诸多专业领域。因此泛函分析被当今科学界喻为“20世纪的微积分”。考虑到其具有如此的重要性，有关泛函分析的相关课程自然成为高校数学系本科生和数学专业研究生的学位基础课程之一。其实自从上世纪五十年代以来，泛函分析就一直是世界各国高校数学系学生必修的一门非常重要的基础课程。

泛函分析课程内容的高度抽象化使得学生在学习它的过程中感到很难，另一方面老师在教的时候有时也会感到难于表达自己的内心想法。这两方面的原因导致这门课程的教学效果通常很难让人满意。有鉴于此，为了提高该课程的教学效果，高校从事该课程教学的许多一线教师都对该课程的学与教进行了研究，并在有些方面给出了积极的教学建议[2-6]。

2　现状分析

在本小节，作者以南华大学最近几年的实际情况为基础，并在调研了几所同级别的地方工科类本科高校后，指出了目前地方工科类高校中数学硕士生泛函分析课程教学中所面临的一些问题。这些问题主要体现在以下几个方面：一、招生规模相对较小（通常学生人数在几个到十几个左右）；二、课程教学课时数相对较少；三、教学方式相对单一，主要是传统的黑板讲授方式；四、不同于国家重点高校，地方高校师资力量和生源质量相对较弱。以上这些不足导致一些在别的学校可行的教学方式或方法在该类高校中不具有可行性，比如分组讨论、研讨式教学等等。正因为如此，我们不能一味地照搬其它高校的成熟的教学方法，而是应探索符合本校校情的教学方法。

3　教学建议

作为数学类硕士生必修的专业基础课程之一，课程泛函分析在学生的培养过程中其重要性不言而喻。在某种意义上可以说，泛函分析教学效果的好坏直接关系到学生科研能力的培养以及学生将来继续深造的竞争力。

在这一小节，针对上面提到的目前我们在该课程教学中所存在的问题，我们将以最近几年来该课程的教学实践为基础，对如何提高泛函分析课程的教学效果提出以下几点建议。我们的教学实践表明，这些建议是有效的。至少能提高学生学习该课程的兴趣，并且能让学生不惧怕该课程。下面逐条说明。

3.1教学内容的选择

由于部分学生是相近专业调剂过来的，虽然也有部分本科是数学专业的学生，但其所在的学校只开设了64学时的《实变函数与泛函分析》课程，而不是用足够的课时开设《实变函数》和《泛函分析》这两门课程。这在一定程度上导致部分学生的泛函分析基础较薄弱，而且学生入学时水平参差不齐。鉴于这种情况，我们在选择教学内容的时候就不能偏难以防不利于基础相对较差的学生学习。但反过来也不能太容易，比如选择过多的与本科内容重复的东西放在教学计划里，这会让基础较好的学生觉得乏味。在这个方面，文献[1]相对来说做得比较好，其内容难易适中。另外，对于那些几乎没有泛函基础的学生，我们则可以在学生复试确认可被录取后，就给他们推荐本科泛函分析教材以供其自己在假期间学习。这样做有利于这部分学生在开学时跟上进度。

3.2将多媒体应用到教学中来

在我们自己还是学生的时候，我们的老师就是利用粉笔与黑板的传统方式给我们讲解该课程。当时感觉上课的老师很辛苦，老师几乎是一直讲个不停，黑板也是写满了擦，擦了再写满，如此往复很多次。众所周知，该课程的教学中充满了很多定义、以及定理的推导，很多内容不得不书写出来。如果只用传统板书式教学，很难做到在有限的时间里兼顾好讲与写，并且还要注意到不影响教学进度的问题。最近几年来，多媒体教学已经广泛走进了校园。大学里的教室几乎都配有多媒体系统，这是因为多媒体的应用可以加强教学的生动性和直观性。在此我们可以先把一些重要的定义、定理以及定理证明过程中的关键步骤提前做好PPT，另外针对一些几何性质较强的内容，也可以提前利用数学绘图软件绘制好一些示意图。这样在正式上课时，可以通过放PPT节约大量原本用于做抄写工作的板书时间，从而我们可以有更多的时间放在重点的讲解上。另外一些示意图的展示也利于学生理解抽象的空间或一些映射之间的关系。

3.3重视定理证明的讲解

泛函分析中有许多重要的数学思想。由于它具有较高的抽象性，该课程中的许多重要数学思想可以应用到其它数学问题当中去。该课程中有很多的构造性证明以及一些特别巧妙的证明方法。对于学习数学的学生来说，这些思想方法在一定的意义上讲才是我们真正要学习的东西。定理证明过程的掌握，反过来有利于学生真正理解定理的内含，特别是定理成立的条件和适用的范围。

3.4提倡阅读经典英语原版参考书

对于近现代数学，实话实说国外大部分的研究走在我国的前面。另外有研究表明，中西方人在看待某些问题时的角度有时会有差异。试想体会不同作者对同一问题的不同描述，肯定在一定程度上有利于开阔我们自己的视野并加深对该问题的理解。其次，对外文教材的阅读也有利于提高学生在高年级时对英语文献的阅读能力。特别是那些有志于攻读数学博士学位的学生来说，具有较好的英语文献的阅读能力是相当重要的。文献[7]就是一本相对不错的硕士生泛函分析教材。

以上就是我们最近几年来教学实践中的一些体会。当然影响泛函分析课程教学效果的因素是多样的且复杂的。对于该课程的教学改革的要求也会随着时代的变化而改变，因此对该课程的教学改革也将一直在路上。

4　总　结

在文章中，我们分析了地方工科类本科高校中应用数学专业硕士生泛函分析课程教学中所面临的一些问题；并从我们的教学实践出发给出了一些有利于提高该课程教学效果的建议。我们希望这些建议可以为讲授这门课程的教师提供一些有用的可供参考的意见。当然最重要的还是我们应该以自己学校的实际情况为最基本的出发点，以调动学生的学习兴趣并让学生保持对知识的饥饿感为目的。用这样的方式来设计该课程的教学，则其教学效果的提高自然是水到渠成。

[1]童裕孙.研究生教学用书:泛函分析教程(第二版)[M].上海:复旦大学出版社,2008.

[2]彭自嘉.民族院校《泛函分析》教学改革的探索与实践[J].广西民族大学学报(自然科学版),2013,(1):94-96.

[3]李延保.在高等工科院校中开设应用泛函分析基础课的体会[J].大学数学,1987,(1):32-35.

[4]刘小佑,许友军.硕士生“泛函分析”课程教学改革的几点思考[J].湘南学院学报,2015,(5):69-71.

[5]谢永安,黄文韬.研究生《泛函分析》课程教学探讨[J].信息系统工程,2010,(5):129-130.

[6]李锋杰.硕士研究生泛函分析教学探索[J].中国科教创新导刊,2008,(25):13.

[7] J.B.Conway.泛函分析教程(第二版)[M].北京:世界图书出版公司,2003.

（责任编校：宫彦军）

2016－10－04

南华大学学位与研究生教育教学改革研究项目（项目编号2015JG018）；湖南省普通高等学校教育教学改革项目（项目编号JG2014B048)。

刘小佑（1983－），男，湖南耒阳人，副教授，博士，研究方向为非线性偏微分方程。

G420

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1673-2219（2017）06-0005-02