充分条件和必要条件的判定

肖丽君++胡福军

“充要条件”是高中重要的数学概念，其内容辐射面广，在代数、几何、三角函数中均有考查，因此我们必须全面透彻地理解“充要条件”. 本文从概念内涵和判断方法两个方面来进行全方位辨析.

辨清概念——掌握内涵

（1）充分条件：有甲这个条件一定会推出乙这个结果，有乙这个结果不一定是甲这唯一一个条件.

生活中的例子：只要天下雨，地就会湿. 有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的原因，如洒水车洒的等等. 数学中的例子：“[x=3]”[?]“[x2-2x-3=0]”，故“[x=3]”是“[x2-2x-3=0]”成立的充分条件，但使“[x2-2x-3=0]”成立的不一定是“[x=3]” .

（2）必要条件：有甲这个条件不一定能推出乙这个结果，但乙这个结果一定要有甲这个条件.

生活中的例子：只有阳光充足，菜才能长得好. 有“阳光充足”这个条件，“菜”不一定就长得好，还需要施肥、浇水等其他条件. 但“菜”要长得好一定要有“阳光充足”这个条件. 数学中的例子：“[x2-2x-3=0]”是“[x=3]”的必要条件，因为“[x2-2x-3=0]”不一定得到“[x=3]”，但“[x=3]”一定可以得到“[x2-2x-3=0]”.

（3）充要条件：若同时有“[p?q]”和“[q?p]”成立，则称[p]是[q]的充要条件. 可以理解为[p，q]等价.

合理选择方法——步步为“赢”

1. 一口咬“定”

例1 已知[p，q]为实数，那么[A]：[q]<0是[B]：方程[x2+px+q=0]有相異实根的什么条件？

解析 由题意知，[q]<0[?][Δ][=p2-4q]>0[?]方程[x2+px+q=0]有相异实根，即[A?B]成立.

而[x2+px+q=0]有相异两实根，无需[q]<0，如[x2+5x+1=0]，即[B?A]不成立.

[∴][q]<0是[x2+px+q=0]有相异两实根的充分不必要条件.

点评 判断[p]，[q]之间的关系，只需判断两个命题[A]：“若[p]，则[q]”和[B]：“若[q]，则[p]”的真假. 两命题的真假与[p]，[q]之间的关系如下：（1）当命题[A]真、命题[B]真时，[p]是[q]的充分必要条件；（2）当命题[A]真、命题[B]假时，[p]是[q]的充分不必要条件；（3）当命题[A]假、命题[B]真时，[p]是[q]的必要不充分条件；（4）当命题[A]假、命题[B]假时，[p]是[q]的既不充分也不必要条件.

特别注意：若[p?q]，则有以下说法是等价的. （1）[p]是[q]的充分条件；（2）[q]是[p]的必要条件；（3）[p]的一个必要条件是[q]；（4）[q]的一个充分条件是[p].

2. 代代相“传”

根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.

充分条件具有传递性，若[A1?A2?A3?]…[?An]，则[A1?An]，即[A1]是[An]的充分条件.

必要条件也具有传递性，若[A1?A2?A3?]…[?][An]，则[An?A1]，即[A1]是[An]的必要条件.

例2 若[A，B]都是[C]的充要条件，[D]是[A]的必要条件，[B]是[D]的必要条件，则[D]是[C]的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析 由题意得，[A?C]，[B?C]，[A?D]，[D?B].由传递性知，[D?B][?][C]，故[D][?][C]. 又[C?A][?D]，故[C][?][D]. 因此[D]是[C]的充要条件.

答案 C

点评 对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断，用连锁式的传递图示法来解答最为适宜.

例3 已知[p]，[q]都是[r]的必要条件，[s]是[r]的充分条件，[q]是[s]的充分条件，那么[s]，[r]，[p]分别是[q]的什么条件？

解析 画出关系图，观察求解.

[s]是[q]的充要条件 （[s][?][r][?][q]，[q][?][s]）；

[r]是[q]的充要条件 （[r][?][q]，[q][?][s][?][r]）；

[p]是[q]的必要条件 （[q][?]s[?][r][?p]）.

点评 通过画图，依据充分必要关系的传递性能，我更加清楚地看出多个命题之间的关系. 画图的关键是将[r]这个中心条件画在中心位置，其余几个条件都与之有直接联系，画在周围.

3. 百感交“集”

例3 已知[p]：[20≥x2-8x]，[q]：[x2-2x+1-m2][≤0（m>0）]，若[p]是[q]的充分而不必要条件，求实数[m]的取值范围.

解析 由[x2-2x+1-m2≤0]得，

[1-m≤x≤1+m（m>0）].

则[q]所表示的集合为[A= x1-m≤x≤1+m（m>0）.]

由[20≥x2-8x]得，[-2≤x≤10].

则[p]所表示的集合为[B=x∈R-2≤x≤10].

[∵][p]是[q]的充分而不必要条件，即[p?q]，但[q?p]，

[∴B?A].

[∴m>0，1-m≤-2，1+m≥10.]

[∴m≥9.] 故[m]的取值范围为[m≥9].

点评 如果[p]，[q]以集合的形式出现，我们可以通过研究两个集合之间的包含关系来判断[p]，[q]间的关系. 设满足[p]的对象组成集合[A]，满足[q]的对象组成集合[B]. （1）当[A=B]时，“[x∈A]”是“[x∈B]”的充要条件；（2）当[A?][B]时（真子集），[p]是[q]的充分不必要条件；（3）当[B?][A]时（真子集），[p]是[q]的必要不充分条件；（4）若上述条件都不成立，则[p]是[q]的既不充分也不必要条件.

例4 对实数x，y，“[|x|+|y|≤1]”是“[|x|≤1，|y|≤1]”的什么条件？

解析 从集合的角度判断，考虑集合[A=（x，y）|x+y≤1]与[B=（x，y）|x≤1，y≤1]的包含关系.

[A=（x，y）|x+y≤1]与[B=（x，y）|x≤1，y≤1]表示的集合为如图甲、乙中阴影部分，将甲、乙两图象合成丙图.

[甲乙丙]

由丙图可以知道，[A?B]，所以“[x+y≤1]”是“[x≤1]，[y≤1]”的充分不必要条件.

点评 本例从代数角度不易入手，可以結合转化思想、数形结合思想与集合的观点判断“充分”“必要”“充要”条件，充分利用“小范围推出大范围，大范围不能推出小范围”这一通俗易懂的结论.

4. 心回意“转”

例5 若[p：x≠2，或y≠3，q：x+y≠5，]则[p]是[q]的___________条件.

解析 考虑逆否命题：[?q：x+y=5，?p：x=2，且y=3]，显然有[?p??q]，所以[q?p]，即[p]是[q]的必要但不充分条件.

例6 若“[x∈[2，5]]，或[x∈x|x]<1，或[x]>4}”是假命题，则[x]的取值范围是______.

解析 [∵][x∈[2，5]]，或[x∈x|x]<1，或[x]>4}是假命题，

故“[x?[2，5]]，且[x?x|x]<1，或[x]>4}”是真命题.

[∴][x<2， 或x>5]，且[1≤x≤4].[∴][1≤x<2].

点评 对于例5、例6，若直接分析，则需分多种情况讨论，且还很难说清，因此可以考虑等价转换思想，即当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“≠”形式的命题）时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题. 它们之间的对应关系如下：（1）[p]是[q]的充分不必要条件，则[?q]是[?p]的充分不必要条件；（2）[p]是[q]的必要不充分条件，则[?p]是[?q]的充分不必要条件；（3）[p]是[q]的充分必要条件，则[?p]是[?q]的充分必要条件；（4）[p]是[q]的既不充分也不必要条件，则[?p]是[?q]的既不充分也不必要条件.