2016年全国高中数学联赛加试平面几何题的证明赏析

●谢圣英 沈文选 吴仁芳 (湖南师范大学数学与计算机科学学院 湖南长沙 410081)

2016年全国高中数学联赛加试平面几何题的证明赏析

●谢圣英 沈文选 吴仁芳 (湖南师范大学数学与计算机科学学院 湖南长沙 410081)

2016年全国高中数学联赛加试平面几何题,以三角形和圆等图形为载体，图形简洁，内涵丰富.文章列举并赏析该题的多种证明方法,启发我们数学问题解决教学应加强数学思想方法的渗透，解决数学问题注重提炼通性通法，提高学生的数学问题鉴赏水平.同时，研究往届联赛试题，也便于把握试题的发展方向．

平面几何题；高中数学联赛；证明赏析

题目 如图1，在△ABC中，X,Y是直线BC上的2个点(点X,B,C,Y顺次排列)，使得BX·AC=CY·AB.设△ACX，△ABY的外心分别为O1,O2,直线O1O2与AB，AC分别交于点U，V,证明：△AUV是等腰三角形.

(2016年全国高中数学联赛加试试题)

图1 图2

这道平面几何题是加试卷的第2道题，满分40分,该题仍然延续了之前联赛几何题的考查传统：以三角形和圆等图形为载体，图形简洁，内涵丰富.下面列举此题的几种证明方法，供大家赏析.

证法1 如图2，作出△ACX与△ABY的外接圆⊙O1,⊙O2，2个圆相交于点A,D，联结AD,且与O1O2,BC交于点E,F.由于AD为2个圆的公共弦，O1O2为连心线，可知AD⊥O1O2,即AE⊥UV.由相交弦定理知

XF·FC=AF·FD，

BF·FY=AF·FD，

于是

XF·FC=BF·FY，

2016-10-20；

2016-11-22基金项目：湖南省教育厅一般项目(15C0873)作者简介：谢圣英(1981-),女,湖南华容人,副教授.研究方向：数学教育.

O123

A

1003-6407(2017)02-48-03