追求自然生长、思维流畅的课堂教学

●詹高晟(列东中学 福建三明 365000)

追求自然生长、思维流畅的课堂教学

●詹高晟(列东中学 福建三明 365000)

文章通过对课例“因式分解”的展示与评析，引发如何优化课堂教学的思考.要优化课堂教学，应吃透教材，对教材进行适当处理，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”；还应在教学中基于知识的自然生长，设计思维流畅的教学环节，引导学生自主完成知识的建构.

课堂教学；教材处理；自然生长；思维流畅

在一次市级学科带头人跟岗实践中，实践导师开设的“因式分解”(北师大版《数学》八年级下册第4.1节)教学展示课得到了听课教师的好评，课后大家就这节课的教学展开了深入的讨论，也引发笔者进一步思考，现整理成文，与同行交流.

1 教学内容

教材安排如下4个环节来展开教学：

环节1 提出问题“993-99能被100整除吗”，并给出小明的做法(如图1所示),指出解决问题的关键是把一个整数化成几个数的积的形式，然后让学生类比小明的做法，尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式，即a3-a=a(a+1)(a-1).

图1

环节2 观察如图2和图3所示的2个拼图过程，写出相应的关系式，拼图前后的面积不变，让学生从几何角度体会因式分解的意义.

图2

图3

环节3 观察上述情境中得到的3个式子：a3-a=a(a+1)(a-1)，ma+mb+mc=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+1)2,引导学生发现他们的共同特点，归纳获得因式分解的意义.

环节4 安排如下的“做一做”，通过具体例子，使学生体会因式分解与整式乘法的关系：因式分解是整式乘法的逆变形.

做一做：

1.计算下列各式：

1) 3x(x-1)=________;

2)m(a+b-1)=________;

3) (m+4)(m-4)=________；

4) (y-3)2=________.

2.根据上面的算式进行因式分解：

1) 3x2-3x=( )( )；

2)ma+mb-m=( )( )；

3)m2-16=( )( )；

4)y2-6y+9=( )( ).

2 教学过程简录及评析

片断1 聚焦引言，直击课题

上课伊始，教师告诉学生从本节课开始要学习新的一章“因式分解”.

师：请同学们想一想，按照学习新知的一般思路，我们应该去研究因式分解的哪些内容？

生1：因式分解的概念、计算和应用.

教师肯定学生的回答，请学生翻看教材的目录，明确本章所要研究的主要内容是因式分解的概念和因式分解的方法，并告诉学生因式分解是后面学习分式化简等内容的重要基础.

接着，教师让学生阅读教材的章引言和观察章前主题图，进一步明确本章的学习目标，进而提出问题：为什么主题图中把对开的2辆列车分别起名为“因式分解号”和“整式乘法号”？随后指出通过本节新课的学习就能解决这一问题，点明本节课要研究的主要内容是因式分解的概念.

评注 本节课是“因式分解”整个章教学的起始课.因式分解的概念是本节课的教学重点，教师不但关注因式分解概念的教学，还非常注重发挥“章引言”的教学功能.通过翻看教材目录和指导学生阅读章引言，帮助他们了解本章的主要内容，熟悉本章概貌，初步把握本节课在整章的地位与作用，以防学生“只见树木，不见森林”，让学生在学习之初就能看到“森林”，弄清学习的脉络.同时，主题图展示的2辆对开的列车，直观形象地反映出因式分解和整式乘法间的关系，激发学生的学习兴趣和求知欲望，让学生在“愤悱”状态下进入新知探究.

片断2 类比探究，引出概念

教师提出问题“993-99能被100整除吗？”并给出小明的做法，然后引导学生明确每一步做法的依据，并提出问题：解决这一问题的关键是什么？

生2：把一个数式分解成几个数的积的形式.

教师顺势回顾因数分解的概念：把一个整数分解成几个整数(1除外)相乘的形式叫做因数分解.

师：类似地，能否把a3-a化成几个整式乘积的形式？

先由学生独立思考，再共同交流得到a3-a=a(a+1)(a-1).

师：这种变形与因数分解类似，给它取名为因式分解，你能模仿因数分解的概念给因式分解下个定义吗？

生3：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.

师：很好，请大家找一找这个定义中的关键词.

生4：多项式、整式、积.

评注 这里通过“判断993-99能否被100整除”这一问题的解决，自然地提出因数分解的概念，避免了“什么叫因数分解”这种空洞的提问，借助具体问题把抽象的概念具体化，学生易于理解，效果很好.接着结合具体例子，通过类比，从数式的分解到多项式的分解，由学生自主归纳出因式分解的概念.这一过程让学生去思考和总结，自主经历新知的探究过程，因式分解概念的引出水到渠成，“学生是主体”这一理念得到充分体现.随后又由学生自己去找出概念中的关键词，找关键词的过程就是对概念深化认识的过程，找到了关键词，对因式分解意义的理解也就上了一个台阶.通过探究得到的概念，才会理解深刻，记忆牢固.

片断3 暴露思维，合作解疑

因式分解的概念形成后，教师安排如下练习：

练习1 下列等式中，从左到右的变形哪些是因式分解？

1) (a+b)(a-b)=a2-b2；

3) 4x2+4x+1=4x(x+1)+1；

4) 4x2+4x+1=(2x+1)2；

6) 12a2b3c=2a2×2b3×3c；

7) (3-x)(2-x)=(x-2)(x-3).

评注 对于因式分解的概念，学生找到了其中的关键词，是否就真正理解了呢？这组辨析题是最好的试金石.观察学生的解题表现，可以发现他们对概念并没有完全弄懂，还没有真正悟透.理解“积的形式”这几个字，对于不少学生来说并不简单，需要一个复杂的思维过程.在教学设计中安排这一组有针对性的题目，对学生全方位理解概念的内涵与外延是有益的，特别是第2)，3)小题.当学生陷入思维困惑时，教师“以学定教”，及时调整教学节奏，放缓思维坡度，拉长思维过程，与学生一起交流讨论，从而让“学为中心”的理念得到充分体现.

片断4 辨析感悟，深化理解

师：练习1中的第4)，5)小题，它们都是因式分解，可结果不一样，你能作出解释吗？

生5：只要反过来去验证一下就明白了.

师：能说具体点吗？

生(众)：整式的乘法.

师：能说说因式分解和整式乘法的关系吗？

生6：一种互为相反的运算.

师：能说准确点、具体点吗？

生6：一种互逆变形.

生7：整式的乘法是一种运算，左边是几个整式的积，右边的计算结果是一个多项式或单项式.因式分解的左边是一个多项式，右边的结果是几个整式的积的形式，2者是互逆的.

随后教师安排学生再次观察教材的章前主题图，体会把2辆对开的列车分别起名为“因式分解号”和“整式乘法号”的原因，并安排了以下练习：

练习2 检验下列因式分解是否正确：

1) -2x2+4x=-2x(x+2)；

2) 2x2-9=(2x+3)(2x-3).

评注 这里教师没有像教材那样专门安排“做一做”，而是充分发挥练习题的教学功能，通过问题“它们都是因式分解，可结果不一样”引导学生去逆向验证，自然唤醒旧知“整式乘法的意义”，进而提出问题“因式分解与整式乘法有什么关系”，深化因式分解概念的理解.在这一过程中，教师的设问循序渐进，指向明确，引导学生思维自然向前推进.特别是通过2次追问“能说具体点吗”，引导学生对问题的探究步步深入，避免思考浮于表面，同时又让“先知先觉者”带动“后知后觉者”一起经历知识的探究过程，促进全体学生共同成长.通过再次观察主题图，直观感受因式分解与整式乘法的互逆关系，呼应课题引入时的问题，释疑解惑，加深对因式分解概念的理解.

片断5 丰富认识，拓展思维

师：我们已经从“数”的角度认识了因式分解，那么能否从“形”的角度来理解呢？请大家观察这2个拼图过程(详见教学内容“环节2”)，写出相应的关系式.

学生独立思考后，教师引导学生从拼图前后面积保持不变入手写出关系式，并借助拼图再次感悟因式分解是整式的恒等变形.接着安排如下练习：

练习3 将图4中的4个图形拼成一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解.

图4

评注 教师在学生已经理解因式分解意义的情况下，通过2个拼图问题——拼图前后的面积不变性，引导学生从形的角度丰富对因式分解概念的理解，渗透数形结合的数学思想，有助于发展学生的几何直观.随后安排的练习3引导学生通过动手操作、实验尝试的方式拼出大长方形，再去思考拼图所反映的数学过程，理解拼图与因式分解之间的联系，在活动中充分感受数与形的有机融合，使抽象思维与形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，从而让学生对因式分解概念的理解再次得到升华.

3 教学思考

3.1 教材处理：信奉而不唯是，遵循而有所立

教材是知识的载体，蕴涵课标的精神实质，凝聚编者的智慧，是教与学的蓝本.但由于教材的简洁性和基础性，很难做到完全适合不同类型的学校，这就给教师留下了二次创造的空间.“因式分解”这节课，教材编者的意图是安排“环节1”和“环节2”，让学生通过具体例子，从“数”与“形”2个方面来体会因式分解的意义，进而归纳获得因式分解的概念.这样的编排存在的不足也是显而易见的，学生通过“环节1”已经实现因数分解到因式分解的类比，因式分解的概念呼之欲出，如果此时进入“环节2”，就把原来自然流淌的思维强行掐断.

本节课的设计，把“环节2”后移到“片断5”的位置，确保片断2～4的教学连贯展开，自然流畅地引入因式分解的概念，然后通过一组练习题，让学生从“数”的角度加深对概念的理解.在此基础上，通过“片断5”再从“形”的角度去丰富因式分解概念的理解，既深化概念的认识，又渗透数形结合的数学思想，有助于发展学生的几何直观，提升数学思维能力.教师在处理“因式分解与整式乘法的关系”这一教学内容时，也摒弃了教材的处理方式，而是直接利用练习1中2个小题的教学素材自然地提出问题，顺势回忆整式乘法的含义，进而提出问题“因式分解与整式乘法有什么关系”，这样既能把节约出的时间让位于核心知识的探究，又能实现同样的教学效果，还能最大限度地发挥练习题的教学功能，何乐而不为？当然，我们对教材“不唯是”“有所立”，前提是要深刻理解教材，特别是要从知识的整体架构去分析教材，读懂编者意图，再根据学生的实际情况，对教材进行合理地重组或加工，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”，以便更好地服务课堂教学.

3.2 教学环节：基于知识生长，追求思维流畅

作为思维见长的学科，数学的学习不能单纯地依靠接受、记忆、模仿和练习.正所谓“学的真谛在于悟”，只有学生亲身体验过的，才能获得属于他们自身的经验，才能实现迁移应用[1].因此，在教学中教师要基于数学知识，自然生长，设计思维流畅的教学环节，让学生经历知识的再发现、再创造，自主完成知识的建构，实现数学能力的提升.

本节课，由于是章起始课，教师先引导学生回顾以往研究新知的一般思路，从整体上把握整章的知识框架，明确学习目标，避免学习的盲目性，增强学习的预见性和主动性.在概念探究中，教师将学生的学习起点与新知识自然对接，类比因数分解的概念，通过具体例子让学生在思维的最近发展区，自主探究，归纳总结出因式分解的概念.这一过程中，因式分解的概念是学生自己通过类比得到的，关键词是学生自己寻找到的，真正让学生去思考，让学生去发现，把静态的知识动态化，数学知识的过程价值得到充分发挥.“片断4”是“片断3”的自然延续，教师通过精心设计的2个问题(练习1中的第4)和第5)小题)，引发学生去逆向验证，进而思考因式分解与整式乘法的相互关系.当学生自以为理解了其实并不深刻、自以为明白了而又难于言表时，教师可适时追问，引导学生进一步思考，把思维引向深入，整个教学过程环环相扣、层层递进，始终吸引着学生的智力参与，他们的思维在知识的推进中自然地流淌，享受着数学探究性学习旅程中特有的曲径寻幽之乐.

在日常教学中，每节课都应该有一条清晰的主线，以此带动知识的自然生长，让学生的思维在课堂激荡，使知识与技能、过程与方法、情感与态度等目标顺利达成.

[1] 林日福.慢化应用题教学过程，提升学生解题能力[J].中学数学教学参考：中旬，2014(10)：38-40.

忆超负荷问题，如何把信息的同时加工变成依次加工，思维图示无疑是很好的工具.

所谓思维图示法，就是把条件和结论之间的关系，用示意图或线段图简略而充分地表示出来，从而显示出条件与条件之间、条件与结论之间的直观关系，进而找到解题的途径和思维方法.

美国著名思维教育专家海勒博士在1988年提出了Thinking Maps，其中包含了圆圈图、气泡图、双气泡图、数形图、括号图、流程图、复流程图、桥形图这8种具有特定形式和用途的思维可视化工具.这些工具能有效地帮助学生将隐性的思维显性化，同时增加思考的深度和广度，让思考更有条理.

图1

用来分析事物顺序或步骤的图示就叫做流程图[2].如图1，流程图由方框和箭头组成.每个方框中书写一个步骤，箭头方向表示步骤顺序.每一个步骤还可以有“子步骤”，也就是将步骤细化拆分后的步骤，这些子步骤要写在步骤下面，用竖线连接，如果子步骤间也有明显的顺序，也可以用箭头将它们连接起来.结合解题分析，仅需在每个方框内写上已知条件，将条件的等价变形写在子步骤方框内，这样问题的分析就变得有条不紊，合理高效.

图2

用来表示因果关系、分析原因和结果的图示就叫做复流程图[2].复流程图可以理解为流程图的组合，将流程图的步骤、顺序关系变为原因和结果的描述，就形成了一个复流程图.如图2，在绘制时，将某一现象作为中心词，在它的左侧书写出现这一现象的原因，在它的右侧书写现象所导致的结果，原因和结果不需要一一对应.结合解题分析，需选择某一条件或某一过程作为中心词，其左侧书写产生的条件，右侧书写由此可产生的结论.问题的拓展就应运而生.

思维图示法的根本特点有2个：一是形象化人脑的思考过程，可以把大脑中的思维活动延伸到外部，通过图形使之外向化、具体化.而思维图示跃然纸上，所勾勒的形象通过眼睛的观察又被反馈到大脑，刺激大脑作进一步思考、判断和综合，如此循环往复，最初的解题思考也随之愈发深入.二是有利于分散的条件系统化，便于分析条件之间的关系，不受逻辑推导限制，能让思维更灵活，思路更开阔.

下面笔者结合具体事例进行说明：如何借助流程图帮助学生分析和解决问题、加深思考、开拓思路.

图3

分析 根据题目中条件给出的先后顺序，将条件逐一表示出来，该流程图如图4所示:

图4

每个条件在不同学生的脑中形成的反馈不一定相同，不同的学生对题目中重点关注的条件也有所不同，如果刻意地追求统一的理解和同时的关注，势必会导致部分学生跟不上上课的节奏.允许学生有不同的看法、不同的理解，并且把这些看法和理解标注在条件下方，寻找可行方案，一题多解就自然产生了，如果在不同理解过程中可以发现条件的本质作用、内在的联系，那么一题多变、多题一解自然生成.

理解1 解析几何的本质就是用代数的方法解决几何问题，因此题目中的条件往往是用几何语言即图形语言叙述的，条件中也暗含着作图的顺序.因此直接用条件写出来的流程图是图形语言的直译，如果将每个条件的图形语言转化为相应的代数语言，就可得其代数的解决方案.于是流程图可改写成如图5所示的形式：

图5

解法1 1)设点P(2t,t2).

2)设过点P的切线方程为

y-t2=k(x-2t),

则

Δ=k2-4kt+2t2-2=0.

设l1,l2的斜率分别为k1,k2，则

从而

2xM=2k1，

即

即

y=2tx+2-t2.

5)于是

令s=1+4t2(其中t≥1),则

虽然解题过程比较繁杂，但在流程图的导引下，学生的解题思路清晰，将解题过程分解为5个步骤，化繁为简，化整为零，解题信心十足，从而提高了学生解题的正确率.

理解2 如果对流程图中的某些条件有不同的理解，那么可以得到不同的解决方案.比如切点M,N，解法1中理解为直线与曲线的交点，也可理解为曲线上的2个点，只是过这2个点的切线将符合一定的要求.于是将流程图改写成如图6所示的形式：

图6

2)以M为切点的切线PM的方程为

即

同理可得,切线PN的方程为

即

4)因为点P在抛物线x2=4y上，所以

5)直线MN的方程为

即

6)点P到直线MN的距离为

反思 此法因为变量增加，使得直线MN的方程复杂，限制条件复杂性增加，该解法并没有优势.

理解3 若将点M,N理解为直线MN与抛物线C2的交点，则将流程图改写成如图7所示的形式：

图7

解法3 1)设直线MN的方程为

y=kx+b.

则

3)切线PM的方程为

即

同理可得切线PN的方程为

k2=4(2-b).

理解4 如果将直线MN理解为切点弦所在直线，即直线MN由多个条件一起确定，那么流程图升级为复流程图，具体表示如图8所示：

图8

即

y-x0x+y0-2=0,

从而

借助已有的结论，不仅可以简化解题过程，而且命题者的意图也一目了然，考查有关切点弦的性质，大胆猜想与此弦有关的性质：从线段角度出发，可以考查有关长度、距离、面积等问题；从直线角度出发，可以考查斜率、截距、中点等问题；从运动的角度出发，可以考查有关轨迹问题；从函数的角度出发，可以研究哪些是定值、哪些具有最小(最大)值.于是可以得到如图9所示的复流程图，逐一研究发现下列问题.

图9

在研究过程中可以发现：研究的关注点始终是直线MN，即y-x0x+y0-2=0，直线的性质也被点(x0,y0)决定.于是大胆猜想：如果直线的斜率为定值，即x0为定值，那么点P应该在怎样的曲线上呢？如果直线在y轴上的截距为定值或直线过定点,对点P的要求又会发生怎样的变化呢？一切与(x0,y0)有关的要素都可以加以大胆的想象,于是所有人都可以在如图10所示的流程图上再增加研究的方向，从而更改条件，改编题目.

图10

解题之后再回头看，怎么看，看什么呢？始终是个难点.借助思维图示，我们可以在原来雁过无痕的思考过程中寻找是否有不同的理解，在思维的起点上寻找是否有更短的路径、更快捷的方法，一题多解就应运而生，没有一点牵强附会，一题多变也变得触手可及，没有遥不可攀的感觉.让思维可视化成为常态，学生的解题才可以真正做到举一反三，才可以真正脱离题海战术.

参 考 文 献

[1] 吴增生.用数学发展智慧:基于脑、适于脑、发展脑的数学教学策略[M].南昌：江西教育出版社，2015.

[2] 赵国庆.思维可视化[M].北京:北京师范大学出版社，2016.

图1

线性规划问题图解法的本质是根据“等值线”原理，将二维的平面区域最值问题转化为一维的平行直线系的纵截距的最值问题，这一思维方法可以推广至非线性规划的最值问题．例如，在约束条件x+2y≤8，4x≤16,4y≤12，x≥0，y≥0下，求2x+3y,x2+y2,x2+2y2的取值范围．

例1 已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，记M(a,b)是|f(x)|在[-1，1]上的最大值.

1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)>2;

2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最值.

(2015年浙江省数学高考理科试题第18题)

分析 由题设条件知：

从而转化为一元函数的最值问题．

图2

方法2 (放缩与构造)由-3≤a+b≤1,-1≤a-b≤3，得

|a+b|≤3, |a-b|≤3，

从而

|a|+|b|≤3,

取a=2,b=-1或a=-2,b=-1符合条件．

无论哪种方法，其本质都归结于等值法的几何直观．一般地，对于二元函数的最值问题，我们可以绘出约束条件对应的可行域，构造等值线将平面区域的点转化为某一等值路线，最值通常在路线与等值线相切的切点处取到，然后通过求导或判别式法计算最值．

2 “等值线”的向量特征及其应用

2.1 “等值线”的向量方程

图3

是一组平行直线系．

(2016年10月浙江省数学新高考试题第21题)

图4

2.2 “等值圆”的向量方程

证明 设AB的中点为O，则

从代数特征看，设A(-t,0)，B(t,0),P(x,y),则

(x+t,y)·(x-t,y)=λ，

即

x2+y2=t2+λ,

( )A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

图5 图6

参 考 文 献[1] 杨世明,王雪琴.数学发现的艺术[M].青岛:中国海洋大学出版社,1998:295-298.[2] 潘成银.平面向量基本定理系数等值线[J].数学通讯,2013(1):40.[3] 祝敏芝.为构建逻辑连贯的学习过程而设计——课例“平面向量基本定理”评析[J].中学数学教学参考,2015(5):36.

2016-09-27；

2016-10-30作者简介：詹高晟(1976-)，男，福建三明人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.2

A

1003-6407(2017)02-07-04