关注抽象过程 建构数学模型——《乘法分配律》教学与评析

执教/林 慧 评析/韩梅

【教学内容】

苏教版四年级下册第62～63页。

【教学过程】

一、呈现情境，引思激问

谈话：学校要举行体育艺术节，四五年级展示的是“花样跳绳”。为了这次体艺节的精彩展示，四五年级的同学们到器材室借跳绳来了。（课件出示借跳绳场景）

师：仔细观察，从图中你获得了哪些信息？

（学生交流）

师：根据这些信息你能提出哪些数学问题？

生1：四年级一共要领多少根跳绳？

生2：五年级一共要领多少根跳绳？

生3：四、五年级一共要领多少根跳绳？

【评析：以学生熟悉的学校体育艺术节为背景，创设一个充满现实的问题情境，让学生获取现实生活中的数学信息，引发数学问题，激起探究欲望，从而积极主动地带着自己的知识基础、活动经验开启探究活动。】

二、探索发现，激思猜测

1.初步感知。

解决问题：四、五年级一共要领多少根跳绳。

活动：先列综合算式自主解决问题，再交流想法。

结合反馈板书：

（6+4）×24

6×24+4×24

比较两道算式。

生1：通过计算，我们发现这两种解法虽列式不同，但都能解决上面的问题。

生2：虽然这两个算式样子不同，但是计算结果是相等的。

师：我们可以把两个算式写成一个等式。

2.类比体验。

出示问题二：为了这次体艺节，体操队还排练了精彩的团体操。

男生每行6人，共10行；女生每行9人，共10行。你知道参加团体操表演的一共有多少人吗？（呈现团体操队形图）

（1）学生自主解答。

（2）交流反馈，教师相机板书：

（7+9）×10

7×10+9×10

（3）观察等式，发现特点，引发猜想。

观察等号两边的算式，你发现了什么？像这样的情况，是偶然巧合还是有其中的规律呢？你能大胆地猜一猜吗？

【评析：从生活中的实际问题出发，在学生独立思考、探索的基础上引导有效的交流，在交流中相互启发，通过观察、类比、列举，使学生对乘法分配律有了初步感知，形成丰富的数学活动经验。观察、猜想充分体现了学生学习的主体地位，学生通过解决问题、观察感悟、比较猜想等多种学习活动，生动活泼地建构起对数学富有个性的理解，发展了学习能力。】

三、自主探究，集思释疑

1.自主举例，验证猜想。

（1）自主举例，深入体验规律。

（2+3）×5=2×5+3×5

（100+50）×2=100×2+50×2

（40+3）×10=40×10+3×10

……

（2）想一想，像这样的等式写得完吗？

（3）能用语言描述的方式说明猜想是正确的吗？相互说一说。

2.反馈交流，引导概括。

（1）在小组里交流发现，可以尝试采用语言、文字或图画等各种方式来表达自己的发现和想法。

（2）学生在展台上讲解反馈。

生1：用字母表示，（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

生2：用语言叙述，两个数的和乘第三个数，可以把这两个数分别和第三个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

生3：画图表示，（□＋○）×Δ＝□×Δ＋○×Δ。

小结板书课题。

3.揭示规律，反向延伸。

任何事物都可以从正反两方面去看，你们反着读一读用字母表示的等式，这个规律还存在吗？a×c＋b×c＝（a＋b）×c。

4.回顾归纳，反思内化。

回忆一下，在我们以往的学习中曾经在哪些地方运用过乘法分配律吗？

生1：长方形的周长计算。

生2：两位整数乘一位数、两位数的笔算。

【评析：从数学的角度来看，数学反映的是事物之间的关系和规律，它来源于生活而又远远高于生活。学习数学就是对生活经验进行重组、加工，逐步抽象成数学模型，这样的学习过程要让学生亲身经历。学生通过自主举例验证猜想，在感悟的基础上加深了理解，再通过交流，逐步能用规范的数学语言进行概括。正是因为教者及时去情境进而数学化，有效地引导学生小结概括，促进了教学目标得以顺利达成。】

四、巩固应用，拓思提升

1.填空。

27×12＋43×12=（27＋□）×□

15×26＋14×15＝ □○（□○□）

56×□＋44×□＝（□○□）○□

63×15＋□×□＝（□＋□）×□

2.简便计算。

75×22＋25×22

125×（8＋80）

102×15

3.试一试。

26×16＋44×16＋30×16

这道题和刚才研究的题目有什么不同？你能简算吗？

那看来，乘法分配律还可以拓展。能用示意图把拓展后的乘法分配律这样表示出来吗？

4.想一想，生活中还有哪些问题可以用乘法分配律解决？

【评析：学生刚刚学习了乘法分配律，为使学到的知识能更好地纳入到原有的已有知识体系里，进行一定数量、有针对性、有实效的基本练习是必需的。本课练习的设计紧扣教学重点，注重练习的层次和坡度，关注实际应用，很好地引领学生经历了用模的过程，促进了对所学知识的深化理解。】

【总评】

模型思想是数学的基本思想之一，数学模型是沟通生活与数学联系的桥梁，建立模型的过程就是架设这座桥梁的过程，也是学生数学学习展开、推进和提升的过程。“乘法分配律”是关于运算性质的知识，它沟通了乘法与加、减法之间的关系，在现实生活中有着广泛的应用价值，是培养学生建模能力的很好素材。本课的教学是通过现实生活情境呈现数学信息，引发数学思考，提出数学问题，再围绕问题开展研究活动，在探索活动中建构乘法分配律的数学模型，并运用模型解决现实问题。

一、创设情境，感知模型

现代教育理论认为，数学素材来源于学生的生活现实，课始先将学生引进生活，在具体情境中体验、感受生活化的数学，为后面回归生活，体验数学化的生活做好准备。新课程要求“建立模型首先要从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”。这表明发现和提出问题是数学建模的起点。“乘法分配律”是很抽象的数学知识，如果没有具体的感知材料，学生就无法获得体验的机会，只能是在教师带领下空洞地概括、硬记，只有提供丰富的学习素材，才能促进学生自主探索建立模型。本课以学校体育艺术节为大背景，由此引出“花样跳绳”和“团体操表演”两个问题情境。将数学学习与学生熟悉且感兴趣的问题有机融合，让学生真切地感受到所学数学与生活的密切联系。随后结合情境引导学生提出问题再列式解答，对于问题一出现不同的算式（6+4）×24 和 6×24+4×24 后，组织学生结合情境讨论算理，前一种算法是把四、五年级合起来算出一共有多少个班，再算跳绳的总根数；后一种算法是先分别算出四、五年级的根数再算总根数。解决问题二——团体操表演中的数学问题，更是让学生在数形结合的过程中感受两种算法之间的关系，分开算和合起来算的思路形成的过程也正是学生感知乘法分配律的过程。抓住不同算式结果相等而得到一道等式，学生在初步感知数学模型的同时也为后续模型的建立积累了丰富的素材。这一教学环节的安排符合学生的心理特点，利于激发学习兴趣，同时也使学生体会到数学的亲切感与数学学习的价值。

二、类比推理，初现模型

2011版《义务教育数学课程标准》指出：推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。本课中通过问题设计有效地发展了学生的推理能力。首先是合情推理探路径：在两组等式得出后引导学生“观察等号两边的算式，你发现了什么？像这样的情况，是偶然巧合还是有其中的规律呢？你能大胆地猜一猜吗？”在学生想办法验证猜想时给出了友情提醒。一是让学生通过实际情境列举几组相等的但形式不一样的等式，初步感知规律，提出猜想，再列举更多的符合这种规律的几组算式，验证它们是否相等，最后得出结论。通过问题的引导让学生经历合情推理的过程，探索、归纳、感受规律，再通过演绎推理明道理。合情推理的过程对于四年级的学生来说并不困难，符合学生的年龄特征和心理规律，而演绎推理的过程正是从不完全归纳向完全归纳发展的必经之路。友情提醒中的第二条“讲道理”就是引导学生从意义上来证明猜想的正确性。学生可能从问题的实际意义“四、五年级一共有10个班，也就是领10个24根”和数学运算的意义“（6+4）个24也就是6个24加4个24”两个层面来体会与认识，从而发展演绎推理的能力。在这样先合情再演绎的推理过程中，学生经历了举例验证到说理验证的数学化的过程，积累了关于乘法分配律的感性经验，初步体会到乘法分配律的数学意义。

三、多元表征，建立模型

模型建立的重要一环就是“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，因此引导学生用个性化的表达方式将乘法分配律表示出来，模型才能真正地建立起来。本课教学中，在证明结论后，通过有层次的问题引领学生表达自己的发现。如：可以尝试采用语言、文字或图画等各种方式来表达。再到如果用字母a、b、c表示三个加数，这样的规律该怎样表示？学生进行了创造、个性化的表达和交流。这一过程既是学生触及规律本质的过程，亦是积累共识的过程。既增强学生用符号表达数学规律的意识，体会用字母式子表示乘法分配律的严谨与简洁；也有利于学生抽象思维能力的提升。在这一逐步抽象的过程中，学生经历了乘法分配律模型建立的过程。

本节课中让学生经历了发现问题、提出猜想、验证规律、个性概括并应用实践的过程。学生在观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动中，完成了推理、抽象，建立起乘法分配律的模型。然而模型思想的形成不是一蹴而就的，它需要学生经历一个长期的过程才能有所感悟。在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，初步掌握一些建模方法，才能逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。