路径的选择问题
——从费马原理看聪明的光
2017-02-15任雨萌
任雨萌
(西北工业大学附属中学 陕西 西安 710071)
李艳辉
(西安电子科技大学物理与光电工程学院 陕西 西安 710071)
路径的选择问题
——从费马原理看聪明的光
任雨萌
(西北工业大学附属中学 陕西 西安 710071)
李艳辉
(西安电子科技大学物理与光电工程学院 陕西 西安 710071)
利用折算的路程，分析了运动学中的路径选择问题.结合费马原理在折射定律中的应用，建立了光学及运动学中物理描述的对应类比关系.该类比方法为深入理解物理光学的光程等概念提供了新的思路.
费马原理 最值问题 路径 光程 折射率
两点之间沿直线行进最快，这好像是天经地义的常识，但有时候，情况却并不那么简单.骑兵从A点出发要将情报送至C点的首长帐篷，行进路径需要经过沙地和草地，如图1所示.马在沙地跑得慢，在草地跑得快，骑兵应该怎样选择路径从而由A经最短时间到达帐篷C呢？
图1 骑兵最速送信问题示意图
设E为草地与沙地分界面上的任意一点，从A到C在沙地中经过的路径为AE，运动速度是v1，在草地中经过的路径为EC，速度是v2.那么最快到达即要求时间
(1)
最短.
可以分情况讨论：
(1)先考虑最特殊情况，如果路径上经过的区域是均匀的，即马在沙地和草地上行进的速度相等，v1=v2.这时A与C两点之间直线距离最短.显然，沿直线AC行进最快.
(2)如果v1 那么，采用什么物理量作为衡量标准呢？假设一种马可以跑得最快的路面，比如柏油马路，在这种路面上，马行进的速度可用常量表示.则马在不同的路面：沙地及草地的行进距离都可以等效地“折算”到马在柏油马路上行进的距离. 设马在沙土路面上的行进时间 用该时间乘以马在柏油马路上行进的速度c,即可得到“折算”到马在柏油马路上的行进距离 同理，把马在草地上的行进距离也折算到其在柏油马路上的行进距离l2，最终可得 (2) 显然，既然都已“折算”到马在柏油马路上的行进距离L折算，则如果这个距离越小，那么骑兵将到达的越快.这样折算后的好处在于,虽然马在沙地及草地中行进的速度不相同，行进的时间也各异，但是，都“折算”到马在柏油马路上运动的距离后，可以方便地比较由A到C马沿不同的路径运动时的行进距离，进而可以方便地比较诸如最短用时等物理量. 其实，马在不同的路面上行进的速度是一定的，因此马在诸如沙地、草地的行进速度与其在行进最快的柏油路上的行进速度的比值，就反映了这种路面的某种属性.干脆可以用常数n1，n2来表示这种反映路面自身属性的物理量，它是无量纲量，即 (3) 结合式(2)、式(3)，L折算可表示为 L折算=n1AE+n2EC= (4) 因为A点与C点在x轴方向上的间距是固定的,设为l，如图1所示.令AP=x，则EN=l-x.且当A点与C点确定之后，这两个点投影到y轴方向上的距离是确定的，不会因为E点的选取而改变.因此，在式(4)中以x为一变量，其最值条件将满足 时所需时间最短.即 (5) 化简得 (6) 如果定义AE及EC与两种界面的法线方向之间的夹角分别为α及β，则有 n1sinα=n2sinβ (7) 其中 可以看出，因为v1 (3)如果v1>v2,则采用类似的方法，容易分析出这时使得由A到C用时最短的两种界面分界线上的转折点E″一定在E′点的右侧.这样可以使得马在行进速度快的路面上“多”走一定的路程，而在行进速度慢的路面上“少”走一定的路程，从而使得用时比沿AC直线行进更短. 这是一个非常有趣的现象，其实如果了解光，你会敬仰地发现“聪明”的光的计算及分析能力. 我们把图1中的问题更换为光从一点A出发到达另一点C，光沿哪一条路径行进将用时最短. 还是设E为两种介质分界面上的任意一点.光在真空中的运动速度最快，等效于马在柏油马路上的运动速度c.只是对光而言，这个速度是c=3×108m/s,光在不同介质中的传播速度不同，分别是v1,v2.仍可用式(3)定义的无量纲量来表示不同介质对光传播的某种属性，即这时的n1,n2分别表示两种介质的“相对折射率”.式(4)中的L折算表示“光程”.它其实也是将光在各个介质中走过的几何路径与相对折射率的乘积，“折算”到光在真空中所走过的路程，用这种方法可以方便地将在不同介质中运动速度不同、运动时间不同所通过的距离，“折算”到光在真空中所走过的距离，以便于问题的研究.因此，光从一点A传播到另一点C时，将沿所需时间最短的路径传播，这是几何光学中的一条重要的原理，也称最小时间原理，或最短光程原理，是法国数学家费马于1657年首先提出的，即著名的“费马原理”.简单地说，费马原理可以理解为：光从空间的一点传到另一点是沿着光程为极值的路径传播的. 如此可见，光在传输过程中总是非常的聪明，它的思考实在是又快又准，令人佩服啊. 1 姚启钧. 光学教程. 北京:高等教育出版社,2002 2 石顺祥, 张海兴, 刘劲松. 物理学与应用光学. 西安:西安电子科技大学出版社,2003 3 Born M , Wolf E. Principles of optics oxford (England).Pergamon Press,19754 竹锦霞.费马原理与运动性最值问题探讨.四川文理学院学报(自然科学),2007,17(2):30～31 5 赵凯华, 钟锡华.光学.北京:北京大学出版社, 1984 PathSelectionQuesition—SeeingtheSmartLightfromFermatPrinciple RenYumeng (TheMiddleSchoolAttachedtoNorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi′an，Shaanxi710071) LiYanhui (SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,XidianUniversity,Xi′an,Shaanxi710071) Using the equivalent distance, we analyzed the choice of a path in kinematics problem. Combining the application of Fermat principle in the law of refraction, we established the corresponding analogy relationships of optical and kinematics physical description. The analogy method presented in this paper would be helpful for deep understanding of optical concepts such as: optical path etc. Fermat principle; extreme value of problems; path; optical path; refractive index 任雨萌(2000- )，女，在读高中生. 指导教师：李艳辉(1979- )，女，博士，副教授，主要从事光散射与传播的科研与教学工作. 2016-07-04)
