一维两相同向渗吸模型的求解方法

李帅，丁云宏，吕焕军，张彬，余芳，石善志

（1.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；2.中国石油勘探开发研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.新疆油田宇澄热力有限公司，新疆 克拉玛依 834000；4.中国石油华北油田分公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；5.中国石油渤海钻探井下作业公司，河北 任丘 062550；6.中国石油新疆油田分公司工程技术研究院，新疆 克拉玛依 834000）

一维两相同向渗吸模型的求解方法

李帅1，2，丁云宏2，吕焕军3，张彬4，余芳5，石善志6

（1.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；2.中国石油勘探开发研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.新疆油田宇澄热力有限公司，新疆 克拉玛依 834000；4.中国石油华北油田分公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；5.中国石油渤海钻探井下作业公司，河北 任丘 062550；6.中国石油新疆油田分公司工程技术研究院，新疆 克拉玛依 834000）

渗吸作用是裂缝性储层提高原油采收率的重要机理，润湿相在毛细管力、重力的作用下进入储层基质，通过同向或逆向渗吸作用置换基质内的非润湿相。基于渗吸模型的局限性，文中推导了一维两相同向渗吸模型的通式，在相对渗透率曲线和毛细管压力曲线简化的基础上进行无因次化处理，并采用差分法进行了求解，获得了饱和度前缘移动曲线。采用COMSOL软件，对上述模型进行结果验证，并与逆向渗吸模型进行了对比。结果表明：COMSOL求解结果与文中求解结果近似，同向渗吸模型饱和度前缘推进速度比逆向渗吸更快，同向渗吸效率更高，采出原油更多。在裂缝性储层、常规甚至致密储层中，如果采用体积改造，密集切割储层基质，形成裂缝网络，则可发挥同向渗吸作用，提高原油采出程度。

两相流；非混相；同向渗吸；数学模型；毛细管力

0 引言

渗吸是指在毛细管力、重力作用下，多孔介质自发地吸入某种润湿性流体并置换出原有的非润湿性流体的过程［1-16］。渗吸有同向渗吸和逆向渗吸2种形式，当润湿相的吸入方向与非润湿相的流出速度方向相同时，为同向渗吸；反之，为逆向渗吸［7］。

许多学者通过实验方法研究了渗吸机理及润湿性、毛细管压力、相对渗透率曲线、黏度、界面张力等对渗吸的影响［8］。模型方面，Ryzhik［10］简化毛细管压力和相对渗透率为含水饱和度的函数，最早进行了一维逆向渗吸公式的推导。Yortsos等［11］将相对渗透率和毛细管压力假设为均值，求取了解析解，但该方法不能适用于任意相对渗透率和毛细管压力情况。Kashchiev等［12］采用特定相对渗透率和毛细管压力曲线，对逆向渗吸过程进行了推导。

国内，如李士奎［1］、王家禄［6］、朱维耀［7］、李爱芬［14］等多采用实验方法，对渗吸机理及影响因素进行研究，在模型及数值分析方面研究较少。基于以上局限性，本文推导了一维两相同向渗吸模型，采用差分法求解了饱和度剖面前缘移动方程，并与逆向渗吸进行了对比。

1 模型推导

1.1 假设条件

模型基本假设条件为：流体为油水两相；一维毛细管内流动；润湿相的进入速度和非润湿相的流出速度相等；2种流体之间不发生化学反应，为非混相流体；流体不可压缩；水平均质孔隙介质流动；等温流动；不考虑重力影响；不考虑注入压差，为自发渗吸过程。

1.2 方程推导

由达西定律可得流体运动速度为

式中：vw为水相的渗流速度，m/s；vo为油相的渗流速度，m/s；K为绝对渗透率，10-3μm2；Krw为水相的相对渗透率；Kro为油相的相对渗透率；μw为水相的黏度，mPa· s；μo为油相的黏度，mPa·s；pw为水相压力，MPa；po为油相压力，MPa；x为渗流距离，m。

毛细管压力pc为非润湿相与润湿相压力之差：

由Leveratt两相流规律可得：

联立式（1）、式（2）、式（4）、式（5），润湿相（水相）的渗流速度可表示为

将式（6）进行变换，写成饱和度的微分形式：

式中：Sw为平均含水饱和度。

如不考虑密度的变化，润湿相的物质平衡方程为

式中：φ为基质孔隙度；t为时间，s。

将式（7）代入式（8），得：

式（9）即为该假设条件下的同向渗吸通式。

1.3 方程简化

式（9）为高度非线性化的二阶偏微分方程，由于式中的Kro，Krw及pc也是含水饱和度Sw的不连续函数，数学上无法直接进行求解，所以进行如下简化。

1.3.1 非润湿相毛细管压力梯度

根据Le Guen等［17］的研究，同向渗吸时，非润湿相的流动梯度可以忽略，即式（4）可表示为

进而vw可表示为

此时渗吸式（9）可简化为

1.3.2 相渗曲线

根据Scheidegger和Johnson［18］研究，相对渗透率曲线与含水饱和度的简化关系式为

1.3.3 毛细管压力曲线

Babchin和Nasr［19］认为，在没有外力存在时，毛细管压力可以近似表示为饱和度的函数：

式中：β为常数。

将式（13）、式（14）代入式（12），可得：

边界条件和初始条件为

2 模型求解

边界条件和初始条件分别为

因此，整个模型最终演化为在边界条件（式（19））和初始条件（式（20））时，对式（18）的求解。采用有限体积法，建立差分格式：

式中：i，m分别为整数。

式（21）即为式（18）的差分形式。基于式（21）即可编程求解S。

3 模型验证

选用多物理场耦合软件COMSOL建立一维油水水平流动模型（见图1）。

图1 COMSOL数值模型

第1个网格预设为润湿相，用以代表X=0时的含水饱和度Si0。第2～100个网格预设为非润湿相，用以代表T=0，X＞0时的含水饱和度Sic。模型选用的相渗曲线和毛细管压力曲线与本文相同，整个模型长度为10 cm，模型中没有驱替压差，仅考虑了毛细管压力的影响。其他参数为：K=3×10-3μm2，φ=0.3，Si0=0.2，Sic= 0.2，μo=0.8 mPa·s，μw=1.0 mPa·s，ρo=800 kg/m3，ρw= 1 000 kg/m3。

将模型求解结果与COMSOL求解结果进行验证对比（见图2、图3），可以看出，COMSOL求解的结果与数值差分法求解结果近似。这证明了本文模型求解结果的准确性。将该结果与Kashchiev［7］求解的逆向渗吸结果进行对比后发现，同向渗吸饱和度剖面移动速度更快，因此同向渗吸效率更高，采出的原油也更多。

图2 T=0.3时含水饱和度分布对比

图3 不同时间下的含水饱和度分布

裂缝性储层、常规甚至致密储层开发时，体积改造密集切割储层基质，可形成复杂裂缝网络（见图4）。这时，如果发挥注入压裂液在焖井过程中同向或逆向渗吸的置换作用，赋予压裂液新的功能，则可进一步提高原油采出程度。

致密储层和页岩储层孔隙尺度小，毛细管压力高达10 MPa以上，开发过程中如果能充分发挥毛细管力的作用，可有效提高原油采出程度。对于油湿储层，一方面要降低界面张力，破坏原油滞留机制，使被毛细管力圈闭的油变为可动油；另一方面，要将储层润湿性变为水湿，加强渗吸作用。对于水湿储层，可采用注水吞吐或者压裂焖井的方法，充分发挥毛细管渗吸作用，提高原油产量。

图4 体积改造最短距离渗流示意

4 结论

1）在相渗曲线和毛细管压力曲线简化的基础上，无因次化后求解了同向渗吸模型，获得了饱和度前缘方程，并用COMSOL对结果进行了验证。

2）与逆向渗吸相比，同向渗吸饱和度剖面移动速度更快，采出原油更多，采油效率更高。

3）在裂缝性储层、常规甚至致密储层中，体积改造密集切割储层基质，形成裂缝网络的同时，依靠压裂液在焖井中的同向或逆向渗吸置换作用，赋予压裂液新的功能，可进一步提高原油采出程度。

4）针对油湿或水湿致密储层，分别改变润湿性或采用降低界面张力的方法，在此基础上发挥渗吸作用，有利于提高原油产量。

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（编辑 杨会朋）

Solution to co-current imbibition of immiscible two-phase flow

LI Shuai1，2,DING Yunhong2,Lyu Huanjun3,ZHANG Bin4,YU Fang5,SHI Shanzhi6
(1.Research Institute of Petroleum Exploration&Development,PetroChina,Beijing 100083,China;2.Langfang Branch,Research Institute of Petroleum Exploration&Development,PetroChina,Langfang 065007,China;3.Yucheng Thermal Company,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China;4.Oil Production Engineering Research Institute,Huabei Oilfield Company,PetroChina,Renqiu 062552,China;5.Down-hole operation of Bohai drilling Company,PetroChina,Renqiu 062550, China;6.Engineering Technology Research Institute,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China)

Imbibition is an importantmechanism to enhance oilrecovery for fractured reservoir.Wetting phase enters the porous media with the force of capillary pressure and gravity and displaces non-wetting phase out from matrix in terms of co-current imbibition or counter-current imbibitions.Considering the limitation of imbibition model,this paper derived a one dimension,two-phase co-current imbibition mathematic model,and on the basis of simplified and dimensionless relative permeability curves and capillary pressure curves,numerical solution to saturation front profile was obtained using difference method.This model was verified via COMSOL and compared with counter current imbibition.The results indicate that values obtained in our model are approximate to the results using COMSOL.In co-currentimbibition,saturation profile moves faster,and the imbibition efficiency is higher and oiloutputis much larger. In the development of fractured,traditional or even tight reservoirs,if complex fracture network is formed via volume fracturing,cocurrentimbibition can be used to enhance oilrecovery.

two-phase flow;immiscible phase;co-current imbibition;mathematic model;capillary pressure

国家科技重大专项“大型油气田及煤层气开发”（2016ZX05023）

TE348

：A

10.6056/dkyqt201701013

2016-05-10；改回日期：2016-11-07。

李帅，男，1987年生，在读博士研究生，2011年本科毕业于中国石油大学（北京）石油工程专业，现主要从事储层改造与油藏数值模拟研究。E-mail：ls_cupb@163.com。

丁云宏，男，1962年生，教授，博士生导师，从事储层改造与油气井测试等研究工作。电话：010-69213017，E-mail：dingyh@petrochina.com.cn。

李帅，丁云宏，吕焕军，等.一维两相同向渗吸模型的求解方法［J］.断块油气田，2017，24（1）：56-59.

LI Shuai，DING Yunhong，Lyu Huanjun，et al.Solution to co-current imbibition of immiscible two-phase flow［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：56-59.