热冲击下理想黏结三明治板的分数阶广义热弹性问题分析

2017-02-09徐业守徐赵东何天虎陈锦祥张永胜王康建

东南大学学报（自然科学版） 2017年1期

关键词：比热容热传导三明治

徐业守徐赵东何天虎陈锦祥张永胜胡健王康建

(1东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 南京 210096)(2兰州理工大学理学院, 兰州 730050)(3江苏省建筑设计研究院有限公司, 南京 210019)

热冲击下理想黏结三明治板的分数阶广义热弹性问题分析

徐业守1徐赵东1何天虎2陈锦祥1张永胜3胡健3王康建1

(1东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 南京 210096)(2兰州理工大学理学院, 兰州 730050)(3江苏省建筑设计研究院有限公司, 南京 210019)

为了研究对称热冲击作用下三明治板的广义热弹动态响应,假定三明治板连接界面处为零阻抗理想黏结,材料特性参数随温度变化,采用分数阶广义热弹性理论,给出了层合板广义热弹耦合的控制方程.基于拉普拉斯变换及其数值反变换对控制方程进行求解,得到了无量纲温度、位移及应力的数值解.重点讨论了热传导系数、密度和比热容等材料参数在界面处的变化对热传递及结构响应的影响,同时考虑了分数阶参数及温度相关性参数的影响效应.计算结果表明,温度、位移和应力随界面处材料热传导系数、密度和比热容的减小而增加;分数阶参数对温度和应力的影响较大,对位移影响较小;温度、位移和应力的幅值随温度相关性参数的增大而减小.界面处材料热传导系数、密度和比热容的减小促进热沿板厚方向的传导,分数阶理论和材料的温度相关性对温度、位移和应力的分布影响显著.

分数阶广义热弹性理论;对称层合板;温度相关性;拉普拉斯变换

在经典热弹性理论中,认为热以无限大速度传播,这与物理实际并不相符.为弥补经典热弹性理论的不足,学者们发展了广义热弹性理论,主要包括Lord-Shulman(L-S)[1]广义热弹性理论和Green-Lindsay(G-L)[2]广义热弹性理论.这2种理论都能描述热在介质中以有限的速度传播.Sherief等[3]和Ezzat等[4]用分数阶微积分对其进一步修正,建立了分数阶广义热弹性理论.Aouadi[5]的研究表明,材料的特性参数与温度有关,如弹性模量、泊松比、热膨胀系数和导热系数等随温度变化.Youssef等[6]和熊启林等[7-8]基于广义热弹性理论,对层板结构热力学问题进行了深入的研究.

本文基于Ezzat等[4]提出的分数阶广义热弹性理论,对材料特性参数与温度相关的三明治板,在对称热荷载作用下的广义热弹耦合问题的动态响应进行了研究,定量得到了无量纲温度、位移及应力的分布规律.

1 基本方程

基于Ezzat等[4]建立的分数阶广义热弹性理论,不考虑体力和内热源,均质各向同性热弹性体的控制方程为:

1) 运动方程

(1)

2) 本构方程

σij=2μεij+(λεkk-γθ)δij

(2)

3) 几何方程

(3)

4) 能量方程

(4)

(5)

5) 热传导方程

(6)

σij=(1-α*T0)[2μ0εij+(λ0εkk-γ0θ)δij] (7)

(8)

(9)

2 问题描述

图1 三明治板结构横截面示意图

对于上述三明治板结构,在对称荷载作用下,假设y与z向尺寸为无穷大,厚度x方向的尺寸远小于板平面上y与z向的尺寸,因而只考虑在垂直于板面的热冲击下各变量沿板厚方向的分布规律.

在板厚方向,以对称层中心位置为坐标原点,将三明治板简化为一维问题.初始时刻,三明治板两侧外表面自由,热冲击作用下,其位移uj(上标j=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ表示层板的第Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ层区域)的分量为

(10)

由此,得到应变分量为

(11)

对于一维问题,式(7)～(9)可以简化为

(12)

(13)

(14)

为简便起见,引入如下无量纲量:

对式(12) ～ (14)进行无量纲化处理,可得(为简便起见,略去无量纲量右上角的星号,以下变量均为无量纲量):

(15)

(16)

控制方程求解时,需要同时考虑初始条件和边界条件.对称热荷载作用下的三明治板,两侧坐标为±2l,层合板交界面处的坐标为±l,初始条件被假定为均匀齐次,边界条件为:

1) 三明治板的两侧界面上不受任何外力,应力自由,由此得到σⅠ(±2l,t)=0.

2) 三明治板的两侧界面受到对称热荷载的冲击作用,即θⅠ(±2l,t)=θ0H(t),其中θ0为常数,H(t)为Heaviside函数.

3) 三明治板的交界面处,材料的特性参数发生了改变,但仍需要满足热流流量相等的连续性条件,即在x=-l处,qⅠ=qⅡ;在x=l处,qⅡ=qⅢ.

4) 假定三明治板在交界面处是理想黏结,则可以认为在交界面处不同层板的位移是连续的,即在x=-l处,uⅠ=uⅡ;在x=l处,uⅡ=uⅢ.

3 拉氏域内的求解

根据定义,拉普拉斯变换具有如下形式:

式中,s为拉普拉斯变换因子,且s=v+iw.

对式(15)～(17)运用拉普拉斯变换,可得

(18)

(19)

(20)

(21)

其中

式(21)可以改写为

(22)

p1和p2是如下特征方程的根:

p4-m1p2+m2=0

(23)

求解后,p1和p2具有如下形式:

(24)

(25)

其中

式(25)可以改写为

(26)

q1和q2是如下特征方程的根:

q4-n1q2+n2=0

(27)

求解后,q1和q2具有如下形式:

(28)

对于图1所示的三明治板复合结构,由于第Ⅰ层与第Ⅲ层材料特性参数相同,因而其解析解具有相同的表达形式,第Ⅱ层材料特性参数与外侧两层不同,得到的解析解形式也不同.

1) 第Ⅰ层与第Ⅲ层区域位移和温度解析解为

(29)

(30)

式中,Ci(s),Cii(s)(i=1,2,3,4)为关于s函数的未知待定参数;pi为方程(21)的解.

将式(29)和(30)代入式(19),得到

C11=-A1C1,C22=A1C2,C33=-A2C3,C44=A2C4

(31)

(32)

(33)

2) 与第Ⅰ层和第Ⅲ层区域求解方法相同,得到第Ⅱ层区域位移、温度和应力解析解为

(34)

(35)

(36)

式中,Ei(s)(i=1,2,3,4)为未知待定参数,是关于s的函数,qi为方程(25)的解.

求解过程中

对Ci(s),Cii(s)(i=1,2,3,4)等未知待定参数进行求解时,需要考虑三明治板对称结构外侧面的边界条件,在拉普拉斯域内,在±2l处的边界条件可以转化为

(37)

根据式(32)、(33),利用式(37)的边界条件,得到如下方程组:

(38)

(39)

-B1C1e2p1l+B1C2e-2p1l-B2C3e2p2l+B2C4e-2p2l=0

(40)

-B1C1e-2p1l+B1C2e2p1l-B2C3e-2p2l+B2C4e2p2l=0

(41)

在Matlab中对方程组(38)～(41)进行求解,可得到Ci(s)(i=1,2,3,4)的表达式.而Ei(s)(i=1,2,3,4)解析形式的确定,则必须考虑层合板交界面处(x=±l处)的边界条件.如前所述,在交界面处,热流流量相等,即

(42)

根据分数阶广义热弹性理论,热传导方程为

(43)

在第Ⅰ、Ⅲ层和第Ⅱ层区域分别对式(43)进行无量纲化,可以得到

(44)

(45)

对式(44)、(45)进行拉普拉斯变换,可得

(46)

(47)

由于各变量在外侧两层区域的表达形式相同,式(42)的边界条件可以表示为

(48)

(49)

由于在界面处位移连续,从而有

(50)

由式(32)和(35),可得

p2A2C3e-p2x+p2A2C4ep2x

(51)

q2D2E3e-q2x+q2D2E4eq2x

(52)

由式(29)、(32)、(34)、(35)及式(48)～(52),得到方程组

q1D1E1eq1l+q1D1E2e-q1l+q2D2E3eq2l+q2D2E4e-q2l=

p2A2C3ep2l+p2A2C4e-p2l)

(53)

q1D1E1e-q1l+q1D1E2eq1l+q2D2E3e-q2l+q2D2E4eq2l=

p2A2C3e-p2l+p2A2C4ep2l)

(54)

E1eq1l+E2e-q1l+E3eq2l+E4e-q2l=

C1ep1l+C2e-p1l+C3ep2l+C4e-p2l

(55)

E1e-q1l+E2eq1l+E3e-q2l+E4eq2l=

C1e-p1l+C2ep1l+C3e-p2l+C4ep2l

(56)

通过对式(53)～(56)运用Matlab进行求解,便可得到Ei(s)(i=1,2,3,4)的解析表达式.至此,位移、温度和应力在拉普拉斯域内三明治板不同区域的解析解已全部求得.

4 拉普拉斯数值反变换

为求得各个变量的数值解,需采用拉氏反变换将拉氏域内求得的结果转化到时间域内.拉氏反变换公式如下:

在进行拉氏数值反变换时,应用了黎曼-刘维尔[10]近似求和,即

式中,Re为实部,i为单位虚数,由文献[11]可知,βt≈4.7.

5 数值计算分析

图2显示了t=0.75,υ=2.0,α=0.25时,无量纲化的温度、位移和应力在三明治板第Ⅱ层热传导系数、密度和比热容变化时的分布规律.由图2(a)和(b)可见,热传导系数、密度以及比热容的减小,均会导致温度的增加,反之则温度减小.热传导系数变化对温度分布的影响较比热容和密度变化对温度分布的影响要小.由图2(c)～(d)可以看出,第Ⅱ层热传导系数、密度和比热容发生变化时,由于中间层的位移变化量很小,所以可以不考虑对位移的影响.图2(e)～(f)显示了无量纲化应力的分布,中间层热传导系数、密度和比热容增加时,应力幅值减小,当热传导系数、密度和比热容减小时,则应力幅值增加.所得结果与文献[7-8]结论一致.

(a) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=0.5时温度分布

(b) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0时温度分布

(d) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0时位移分布

(e) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=0.5时应力分布

(f) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0时应力分布

(a) 温度分布

(b) 位移分布

(a) 温度分布

(b) 位移分布

6 结语

基于分数阶广义热弹性理论,探讨了在对称热冲击作用下,三明治板的分数阶广义热弹性问题.计算结果表明,中间层的温度、应力随热传导系数、密度以及比热容减小而增大,位移受到的影响较小;分数阶参数增大时,各变量的幅值呈现增大趋势;温度相关性参数的增大,会导致各变量绝对值幅度的减小,其中温度和应力的减小幅度较大.以上结果对在复杂热耦合条件下工作的三明治板设计具有指导意义.

References)

[1]Lord H W, Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity [J].JournaloftheMechanicsandPhysicsofSolids, 1967, 15(5): 299-309. DOI:10.1016/0022-5096(67)90024-5.

[2]Green A E, Lindsay K A. Thermoelasticity [J].JournalofElasticity, 1972, 2(1): 1-7. DOI:10.1007/bf00045689.

[3]Sherief H H, El-Sayed A M A, Abd El-Latief A M. Fractional order theory of thermoelasticity[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2010, 47(2): 269-275. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2009.09.034.

[4]Ezzat M A, El-Karamany A S, El-Bary A A. On thermo-viscoelasticity with variable thermal conductivity and fractional-order heat transfer [J].InternationalJournalofThermophysics, 2015, 36(7): 1684-1697. DOI:10.1007/s10765-015-1873-8.

[5]Aouadi M. Generalized thermo-piezoelectric problems with temperature-dependent properties [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2006, 43(21): 6347-6358. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2005.09.003.

[6]Youssef H M, El-Bary A A. Thermal shock problem of a generalized thermoelastic layered composite material with variable thermal conductivity [J].MathematicalProblemsinEngineering, 2006, 2006: 1-14. DOI:10.1155/mpe/2006/87940.

[7]熊启林,田晓耕,沈亚鹏,等.瞬态热冲击下层合材料板界面的热弹性行为 [J].力学学报,2011,43(3):630-634. Xiong Qilin, Tian Xiaogeng, Shen Yapeng, et al. Thermoelastic behavior of interface of composite plate under thermal shock [J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2011, 43(3): 630-634. (in Chinese)

[8]Xue Z N, Yu Y J, Tian X G. Transient responses of bi-layered structure based on generalized thermoelasticity: Interfacial conditions [J].InternationalJournalofMechanicalSciences, 2015, 99: 179-186. DOI:10.1016/j.ijmecsci.2015.05.016.

[9]Rishin V V, Lyashenko B A, Akinin K G, et al. Temperature dependence of adhesion strength and elasticity of some heat-resistant coatings [J].StrengthofMaterials,1973, 5(1): 123-126. DOI:10.1007/bf00762888.

[10]Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: An effective improvement of Dubner and Abate’s method [J].ComputerJournal, 1974, 17: 371-376. DOI:10.1093/comjnl/17.4.371.

[11]Honig G,Hirdes U. A method for the numerical inversion of Laplace transforms [J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 1984, 10: 113-132. DOI:10.1016/0377-0427(84)90075-X.

Analysis on fractional-order generalized thermoelastic problem for ideal adhesion sandwich plate under thermal shock

Xu Yeshou1Xu Zhaodong1He Tianhu2Chen Jinxiang1Zhang Yongsheng3Hu Jian3Wang Kangjian1

(1Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China) (2School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China) (3Jiangsu Provincial Architectural Design and Research Institute Ltd., Nanjing 210019, China)

To investigate the generalized thermoelastic dynamic response of a sandwich plate subjected to symmetrical thermal shock, assuming that the value of thermal impedance at the interface is zero with ideal adhesion and the material properties change with the temperature, the governing equations of the layered plate with generalized thermoelasticity coupling are formulated based on the fractional order generalized thermoelasticity theory. The governing equations are solved based on Laplace transform and its numerical inversion, and the numerical values of the non-dimensional temperature, displacement, and stress are obtained. The effects of material parameters alteration including the thermal conductivity, density and heat capacity at the interface on the heat transfer and structure response are studied, and the effects of the fractional order parameter and temperature-dependent parameter are considered at the same time. The numerical results show that the values of temperature, displacement and stress increase with decreasing thermal conductivity, density and heat capacity at the interface. The fractional order parameter has a significant effect on temperature and stress, and a slight effect on displacement; the amplitudes of temperature, displacement, and stress decline with increasing temperature-dependent parameter. The decreases of thermal conductivity, density and heat capacity at the interface promote the heat transfer through the thickness direction of the plate, and the fractional-order theory and material temperature dependence have significant effects on the distributions of temperature, displacement, and stress are significant.

fractional-order theory of generalized thermoelasticity; symmetrical layered plate; temperature-dependence; Laplace transform