航天器转动惯量和惯性积的集成一体化测试方法

边志强 唐振刚 栗双岭 徐 凯



航天器转动惯量和惯性积的集成一体化测试方法

边志强 唐振刚 栗双岭 徐 凯

（上海卫星工程研究所,上海 201109）

通过测量扭摆台的扭摆周期测试卫星的惯量张量，测试在不同安装角度下的惯性矩计算转动惯量和惯性积，用矩阵变换原理计算惯性在主轴的大小、方向和纵横惯量比。分析发现影响转动惯量测量精度的主要因素是摆动周期测量误差，以及试验方法和测量工装产生的误差。采用空载摆动周期尽量长（大于1s）、多次测量（6次以上）的平均值并用最小二乘法对数据进行处理，以提高转动惯量和惯性积的测量精度。给出了某卫星质量特性的测试过程，用扭摆法测得其转动惯量、惯性积和纵横惯量比，测试结果均满足指标要求。该法还适于大型弹箭和空间飞行器的转动惯量和惯性积测试。

扭摆法；转动惯量；惯性积；惯性主轴；最小二乘法；纵横惯量比

1 引言

航天器的转动惯量和惯性积是重要质量特性参数，其参数测试结果为航天器姿态与轨道控制提供设计输入，同时验证航天器结构布局的合理性，形成快速便捷的测试方法，对加快研制进度和周期、提升系统的可靠性和安全性有重要意义[1]。

航天器惯量特性参数包括绕星体坐标轴的转动惯量I，I，I和惯性积I，I，I等[2]。目前，国内外测量转动惯量的常用方法有扭摆法、复摆法和三线摆法等。三种方法原理的共同点：施加外力将被测物体偏离平衡位置并释放，测量自由摆动周期计算出被测物体的转动惯量。扭摆台测试法利用气浮轴承结构，摩擦小，阻尼引起的摆动周期误差可忽略不计，其测量精度最高可达0.1%，在大型弹箭及航天器的转动惯量测试中应用最广[3，4]。惯性积测量常采用动平衡机，测试卫星剩余动不平衡力偶矩计算惯性积。而动平衡机测试存在一些不足：动平衡测试精度与转子转速平方成正比，一般主要用于高速转子的测试，由于航天器构形和附件的限制，转速不能过高，致使惯性积测试精度不高；动平衡机测试法一般针对刚性体结构，而航天器有许多刚度不同的部件、电缆、推进剂等，类似挠性转子系统，若按刚性处理则误差较大[5]；由于一般转动体不存在无自然的转轴，且由于结构和外形的限制，难以通过安装可旋转夹具形成测量轴。为此，本文对一种静态集成的航天器质量特性测试方法进行了研究，特点是：通过测试航天器在多个不同安装位置时的惯量矩计算惯量和惯性积，测试流程简单，可明显节约研制成本；扭摆台转动速度很低，可忽略空气阻力影响，测试精度高。本文提出测试方法同样适于大型弹箭、卫星等航天器的转动惯量和惯性积测试。

2 扭摆法测量物体转动惯量原理

1—被测物体 2—托盘 3—轴承 4—机架 5—中心轴线 6—扭杆 7—驱动与刹车机构

被测航天器垂直安装或借助L型支架等工装水平安装于扭摆台工作台面上，其测试轴与扭摆台旋转轴同轴。施加外力使被测物体至某个初始位置，释放外力后系统作扭摆振动。构建单自由度扭摆振动系统，如图1所示，其运动方程为：

扭摆台测试设备确定后，，0为已知量，扭摆台测试扭摆周期进而可以计算转动惯量。

3 惯量特性测试

3.1 转动惯量和惯性积

图2 O-xpypzp、O-xyz系与OH几何关系

理论力学中，关于刚体对过同一点任意轴惯量矩的描述如下。设为过点的任意轴，为表明的方位，在点建立星体坐标系-、惯性主轴坐标系-xyz，设cos，cos，cos为的方向余弦（如图2所示，转动轴与被测航天器坐标轴，，的夹角分别为，，）。则由文献[5]，刚体对的惯量矩可写为：

式中：为被测航天器的惯量张量，且：

测量6组不同夹角组合状态下轴的惯量矩，就可求得转动惯量和惯性积。

3.2 惯性主轴和纵横惯量比

考虑星体坐标系中惯性矩阵的惯性积不为零，给卫星动力学设计与分析带来不便，故选择某个坐标系以使所有的惯性积都为零。这样，需将一般的惯量矩阵变为一个对角阵。对一个实的非对称矩阵，存在可逆矩阵，使对角化成矩阵，即-1=。

以自旋卫星为例，自旋轴为轴，在星体坐标系中的惯量张量为I，其特征值λ为主惯量矩，由|s|=0可求得λ（=1，2，3）。因自旋卫星的自旋轴为轴，本文假设惯性积I≈0，I≈0。则：

因此，惯性主轴矩阵为：

式中：

由测试获得的自旋卫星横向转动惯量I，I和惯性积I，可得横向最小惯量矩min、横向最大惯量矩max和纵横惯量比分别为：

实际上，自旋卫星存在各种误差，真实惯性积不为零，惯性主轴坐标系的坐标轴与星体坐标系也不重合[8]。设惯性主轴与星体坐标系轴夹角分别为φ、φ、φ，如图2所示，则：

4 测试误差分析

用扭摆法测试航天器的转动惯量和惯性积，对测试误差进行分析：

扭摆台上扭杆摆动周期测量误差引起的转动惯量计算误差e[9]。由式（2）可知：转动惯量测试与测量周期T，0有关，根据文献[10]B类误差不确定度合成理论，由T，0引起的误差总不确定度：

转动惯量测量的相对误差：

因此，取：

不同夹角组合状态下轴的惯量矩计算转动惯量和惯性积的误差。由式（3）可知：只需测量6组不同夹角组合状态下轴的惯量矩，就可求得转动惯量和惯性积。但为获得较精确的结果，消除试验方法和测量工装引起的误差，本文采用多次（6次以上）测量，并用最小二乘法对数据进行处理，最终给出转动惯量和惯性积的结果。最小二乘法估计是一种无偏估计方法，经过多次测量的数据处理，其转动惯量和惯性积的估计值的均值与真值相等，且估计的方差误差阵也随测量数据增加而变小。

5 测试试验及数据处理

以某卫星为例，惯量特性指标为：轴向I=(300±5)kg·m2，横向I，I=(232±5)kg·m2，横向惯量差|I－I|≤10.0kg·m2，=1.166±0.15。用扭摆法的测试过程如下：

a. 扭摆台空载时测试平台安装面和工装的转动惯量unload。测量结果unload=1362.85kg·m2。

b. 根据自旋卫星构型特点，先将自旋卫星垂直安装在扭摆台上测试轴惯量矩（轴），得到纵向转动惯量Im。其中，测量得到的I包括了空载时的转动惯量。测量结果m=1662.46kg·m2。

c. 利用L形工装，卫星旋转90°，轴与星体轴夹角=90°（如图3所示），测试8组不同夹角组合状态下轴的惯量矩I（测试数据含空载时的转动惯量）。自旋卫星横轴、轴与惯量矩测量轴夹角，为试验过程中的已知量，且+=90°。

图3 有L形工装的转动惯性扭摆测试台

d. 测试8组不同夹角组合状态下轴的惯量矩p均含扭摆平台和测试工装的转动惯量，最终结果需减去该转动惯量，见表1。得卫星纵轴轴转动惯量I=(1662.46-1362.85)kg·m2=299.61kg·m2。

表1 不同夹角组合状态下OH轴的惯量矩

根据测试原理可知：=0°时，得到的卫星轴惯量矩值（不含工装）是卫星轴的转动惯量，I=230.52kg·m2；=90°时，得到的卫星轴惯量矩值（不含工装）是卫星轴的转动惯量，I=235.12kg·m2。

在进行扭摆台转动惯量测试前，已对整星进行了静、动配重，使偶不平衡量满足指标要求，此时将卫星轴惯性积近似为零处理，即I≈0，I≈0。轴与星体轴夹角=90°，有：

综合上述8个方程，有：

用最小二乘法处理，可得：

即自旋卫星横向转动惯量I=230.51kg·m2，I=235.12kg·m2，惯性积I=-1.2815kg·m2，纵向转动惯量I=299.61kg·m2。

由式（6）可知：min=230.187 1kg·m2，max=235.452 8kg·m2，=1.287。由式（7）可知：横向最小惯性轴与星体坐标系轴夹角φ=-14.56°，横向最大惯性轴与星体坐标系轴夹角为75.44°，如图4所示。因卫星纵向惯性积很小，近似为零，故将纵向惯性主轴与星体轴（自旋轴）近似作重合处理。

图4 卫星横轴惯量主轴方向

测试结果表明：I，I，I，|I－I|，I，min，max，均满足惯量特性指标要求。

6 结束语

本文提出了一种基于扭摆法的转动惯量和惯性积集成一体的自旋卫星的转动惯量测试方法。利用扭摆台测试卫星的惯性张量，推导了惯性张量解算转动惯量和惯性积的计算。测试简单方便，可大幅节约成本。同时测量过程中，扭摆台的转速很低，弹箭和航天器处于静止状态，受空气阻力影响很小，测量精度较高，误差在0.5%以内。

本文的方法只进行旋转体在不同安装角度下的惯性张量测试，就可解算出旋转体的转动惯量、惯性积以及惯性主轴方向。该方法不受旋转体的形状、体积因素限制，可以在工业、航天、航空等领域应用，通过适当的工装改造，可适应大型弹箭、各类飞行器的转动惯量和惯性积测试。

1 唐若祥，李慧鹏，吕亚宁，等. 基于L型工装的质心及转动惯量测量方法[J]. 航天制造技术，2016，10(5)：28～30

2 杜晨，陈勉. 卫星质量特性测试新方法研究[J]. 航天器环境工程，2004，21(3)：11～15

3 徐小方，张华. 飞行器转动惯量测量方法研究[J]. 科学技术与工程，2009，9(6)：1653～1660

4 侯文. 大型弹箭及航天器转动惯量测量方法研究[J]. 中北大学学报（自然科学版），2008，29(6)：505～508

5 吴斌，赵育善，马彩霞. 用扭摆测试导弹惯性积的方法[J]. 上海航天，2000，17(2)：40～45

6 葛静，张磊乐，游广飞. 基于扭摆法的转动惯量自动测试设备结构设计[J]. 机械传动，2012，36(8)：61～63

7 张晓琳，张烈山，姜广利，等. 基于复合扭摆运动的飞行器转动惯量测量方法研究[J]. 航天制造技术，2011，12(6)：19～22

8 李延斌，杨庆俊，王祖温. 3自由度气浮台力学性能研究——自重作用对转动惯量矩阵及惯量主轴方向的影响[J]. 机械工程学报，2006，42(4)：191～195

9 黄德东，吴斌，刘建平. 扭摆法测量导弹转动惯量的误差分析[J]. 弹箭与制导学报，2009，29(5)：76～78

10 费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 第6版. 北京：机械工业出版社，2010

Research on Integration Testing Method on Rotational Inertia and Product of Inertia for Spacecraft

Bian Zhiqiang Tang Zhengang Li Shuangling Xu Kai

(Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109)

The inertia tensor of a satellite is tested by measuring the oscillatory period of torsion pendulum table. The rotational inertia and product of inertia are tested using the measured values of the moment of inertia at different installation angles. Based on the principle of matrix transformation, the size and direction of inertia in principal axis and inertia ratio of vertical to horizontal are calculated. Through analysis, it is found that the main factors affecting the testing accuracy of rotational inertia are the measurement error of oscillatory period and the error caused by testing methods and measuring tooling. In order to improve the testing accuracy, the measures have been taken, including prolonging the oscillatory period as long as possible (longer than 1s), using mean value of multi-testing (more than 6 times) and using the least square method to process testing data. The test procedure of some satellite was given. The testing results of rotational inertia, product of inertia and the inertia ratio of vertical to horizontal were obtained, which all met the index requirements. The method proposed in this paper is also suitable for the test of rotational inertia and product of inertia for large missiles and rockets, as well as three-axis stabilized satellites.

torsion pendulum method；rotational inertia；product of inertia；Inertial principal axis；least square method；inertia ratio

国家自然基金资助（41504034）。

边志强（1983），高级工程师，控制理论与控制工程专业；研究方向：卫星姿态控制设计。

2017-10-28