2016年高考四川卷解析几何压轴题的五种求解视角

蔡勇全

一、试题再现与评价

已知椭圆E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（3，12）在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C、D，求证：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

这道题目是2016年高考四川卷文科第20题，属于解析几何压轴题，笔者有幸参与了本次试卷评阅工作，从试卷布局、试题难度以及评阅结果等情况分析来看，本题是整套试卷的压轴题之一，尤其是第（Ⅱ）小问，放弃不做、胡乱书写以及找不到解题突破口而导致得分率较低的现象比比皆是，究其原因，在于该小问综合性强，解法灵活多样，涉及的知识点较多，要求的运算能力较强，对学生的解题技能提出了较高的要求.

二、多视角求解

（Ⅰ）由题意可知，a=2b.又椭圆E过点P（3，12），则有34b2+14b2=1，解得b2=1，所以椭圆E的方程为x24+y2=1.

下面从五种视角探讨本题第（Ⅱ）小问的求解策略，供大家参考.

视角一 借助两点间距离公式及韦达定理

设直线l的方程为y=12x+m（m≠0），并设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由题意知x1≠x2.

联立方程组x24+y2=1，y=12x+m，

化简并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1与x2为此方程的两个实根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因为点M为线段AB的中点，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，点M的坐标为（-m，m2），所以直线OM的方程为y=-12x，

联立方程组x24+y2=1，y=-12x解得点C（-2，22），D（2，-22），因此可得到|MC|·|MD|=（-m+2）2+（m2-22）2×

（-m-2）2+（m2+22）2=52（2-m）×52（2+m）=54（2-m2）.又因|MA|=|MB|，y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1-y2=12（x1-x2），所以可以得到|MA|·|MB|=14|AB|2=

14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+

14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=

516[（-2m）2-4（2m2-2）]=54×（2-m2），因此，|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

评注 判别式与韦达定理虽是代数基础知识，但却是求解解析几何问题的利器与法宝，尤其是在解答直线与圆锥曲线相交问题时，其作用往往不可小觑.

视角二 借助点差法、韦达定理及两点间距离公式

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2，所以x214+y21=1，x224+y22=1，两式相减得，（x1-x2）（x1+x2）4+（y1-y2）（y1+y2）=0，即（x1-x2）x04+（y1-y2）y0=0，所以y0x0=-x1-x24（y1-y2）=-12，即x0=-2y0，点M的坐标为（-2y0，y0），所以直线l的方程为y-y0=12（x+2y0），即y=12x+2y0，直线OM的方程为y=-12x.由方程组x24+y2=1，y=12x+2y0可得x2+4y0x+8y20-2=0，x1与x2为此方程的两个实根，由Δ>0可得-2<2y0<2，x1+x2=-4y0，x1x2=8y20-2.又因为|MA|=|MB|，y1=12x1+2y0，y2=12x2+2y0，y1-y2=12（x1-x2），所以|MA|·|MB|=14|AB|2=14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=516[（-4y0）2-4（8y20-2）]=52（1-2y20）.

由方程组x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），因此可得|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2·

（-2y0-2）2+（y0+22）2=52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），故|MA|·

|MB|=|MC|·|MD|.

评注 利用点差法直接找到了点M的横、纵坐标之间的关系，避免了出现视角一中先利用中点坐标公式求得点M的横坐标、再代入直线l的方程求得点M的纵坐标的运算过程，显得简捷高效.

视角三 借助向量的两种运算及韦达定理

设直线l的方程为y=12x+m（m≠0），并设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2.联立方程组x24+y2=1，y=12x+m，化简并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1与x2为此方程的两个实根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，点M的坐标为（-m，m2），因为A、B两点在直线l上，所以有y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1y2=14x1x2+m2（x1+x2）+m2=12m2-12，y1+y2=12（x1+x2）+2m=m.又因MA=（x1+m，y1-m2），MB=（x2+m，y2-m2）， 所以有MA·MB=|MA|·|MB|cos180°=-|MA||MB|=（x1+m）（x2+m）+（y1-m2） （y2-m2）=x1x2+m（x1+x2）+y1y2-m2（y1+y2）+5m24=54m2-52.

因为点M的坐标为（-m，m2），所以直线OM的方程为y=-12x，由方程组

x24+y2=1，y=-12x解得点C（-2，22），D（2，-22），因为MC=（-2+m，22-m2），

MD=（2+m，-22-m2），

所以MC·MD=|MC||MD|cos180°=-|MC||MD|=（2+m）（-2+m）+（-22-m2）（22-m2）=5m24-52，因此可得-|MA||MB|=-|MC||MD|，故|MA||MB|=|MC||MD|

.

评注 引入向量并借用其两种运算形式，可以使几何问题代数化，达到事半功倍的解题效果.

视角四 借助直线参数方程、韦达定理及两点间距离公式

设点M（x0，y0），直线l的参数方程为x=x0+255t，y=y0+55t，t为参数.将直线l的参数方程代入椭圆E的方程并整理得到8t2+45（x0+2y0）t+5x20+20y20-20=0，则Δ=80（x0+2y0）2-4×8（5x20+20y20-20）>0 ，即有（x0-2y0）2-8<0，且t1+t2=-52（x0+2y0），t1t2=5x20+20y20-208

.由于M是线段AB的中点，所以t1+t2=0，故x0=-2y0，代入（x0-2y0）2-8<0可得-2<2y0<2，因此|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=|5x20+20y20-208|=|5（-2y0）2+20y20-208|=52（1-2y20）.

又直线OM的方程为y=-12x，由方程组x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），又因M（-2y0，y0），故

|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2×（-2y0-2）2+（y0+22）2=

52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），所以|MA|·|MB|=

|MC|·|MD|.

评注 利用直线或曲线的参数方程解决解析几何问题，可以极大地简化运算、减少运算量，达到快速解题的效果.

我们知道，在平面直角坐标系内，若A（x1，y1），B（x2，y2）为l：y=kx+b上不同两点，则|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2[1+（y1-y2x1-x2）2]=1+k2|x1-x2|.借用这一知识，也能实现本题的如下快速解答：

视角五 借助弦长公式及韦达定理

设直线l的方程为y=12x+m（m≠0），并设A（x1，y1），

B（x2，y2），M（x0，y0），由题意知x1≠x2.

联立方程组x24+y2=1，y=12x+m.

化简并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1与x2为此方程的两个实根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因为点M为线段AB的中点，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，点M的坐标为（-m，m2），所以直线OM的方程为y=-12x，

由方程组x24+y2=1，y=-12x

可得C（-2，22），D（2，-22）.

首先，|MA|·|MB|=1+（12）2|x1-（-m）|·1+（12）2|x2-（-m）|=54|x1+m|·|x2+m|=54|x1x2+m（x1+x2）+m2|=54|2m2-2+m（-2m）+m2|=54|m2-2|=54（2-m2）.

其次，|MC|·|MD|=1+

（-12）2|

-2-m|·1+

（-12）2|2-（-m）|=54|m-2|·|m+2|=54|m2-2|=54（2-m2），所以

|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

评注 公式|AB|=1+k2·|x1-x2|原本是用于计算直线与曲线相交时所得弦的长度，但本题

|MA|、|MB|、|MC|、|MD|都不是弦，却巧妙地应用了该公式，其实是抓住了该公式可用于计算平面直角坐标系内任意横坐标不相等的两点间的距离这一本质内涵.

三、解题启示

众所周知，运算量大是解析几何问题的突出特点，而运算量大的根源在于此类题目必然出现直线与曲线或曲线与曲线具有某种位置关系这一条件，但从如上案例的多种求解思路不难看出，抓住代数知识中的韦达定理应是求解此类问题的必经之路，同时抓住几何内容中的参数方程、弦长公式以及实现代数与几何相互转化的向量工具等知识，是共同构成简化运算、高效解题的不二法门，因此，在平时的教学中，我们应把这些知识、方法的掌握真正落到实处，为提高解题的有效性提供必要的保障.

（收稿日期：2016-07-12）