聚焦数学期望的交汇性

刘淑静

数学学科的系统性和严谨性决定了数学知识之间深刻的内在联系. 这里的联系，既包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系.又包括各部分知识之间的横向联系，知识的纵横联系必然形成知识网络的交汇，近年来“强调基础、能力立意、在知识网络交汇点处设计试题”已经成为最近两年高考试题的主要特色.因此，在学习中，应该关注并研究数学交汇问题的求解，以开拓视野，进一步提高数学的思维能力.本文结合实例简要介绍数学期望与其他知识的交汇性.

一、与不等式整合

例1 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

（2） 求2Dξ-1Eξ的最大值.

解析 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p， P（ξ=0）=1-p，

从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ= （0-

p）2×（1-p）+ （1-p）2×p=p-p2，

（1）Dξ =p-p2=-（p2-p+14）+14=- （p-12） 2+14，∵0

（2） 2Dξ-1Eξ= 2（p-p2）-1p=2-（2p+1p），

方形，则必能分割成（k+4）-1=k+3个正方形.故第一步应对n=6，7，8

的情形加以验证.第二步，则只需从k递推到k+3.

证明：（1）当n=6，7，8时，由图1中各图所示的分割方法知，命题成立.

图1

（2）假设当n=k（k∈N*，且k≥6）时命题成立，即一个正方形必能分割成k个正方形.那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个.因而原正方形就分割成了k+3个正方形，即当n=k+3时命题也成立.

因为任何一个大于5的自然数n都可以表示成6+3p，7+3p，8+3p（p∈N）中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n都成立.

五、归纳、猜想、证明

例5 （2015年湖北）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+1n）nann∈N+.计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2…bna1a2…an的公式，并给出证明.

解 b1a1=1·（1+11）1=1+1=2；

b1b2a1a2=b1a1·b2a2=2·2（1+12）2=（2+1）2=32；

b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2·b3a3=32·3（1+13）3=（3+1）3=43.

由此推测： b1b2…bna1a2…an=（n+1）n. （*）

证明 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=右边=2，（*）式成立.

（2）假设当n=k（k∈N+）时，（*）式成立，即b1b2…bka1a2…ak=（k+1）k.

当n=k+1时，bk+1=（k+1）（1+1k+1）k+1ak+1，由归纳假设可得

b1b2…bkbk+1a1a2…akak+1=b1b2…bka1a2…ak·bk+1ak+1=（k+1）k（k+1）（1+1k+1）k+1=（k+2）k+1.

所以当n=k+1时，（*）式也成立.

根据（1）和（2），可知（*）式对一切正整数n都成立.

（收稿日期：2016-07-12）