运用“特殊值”法快速解决高中数学选择题

2017-01-20邹伟强

青年时代 2016年31期

邹伟强

摘要：在高中数学考试中，有很多有些选择题，由于可以通过用特殊值法求解，快速而正确完成，备受关注。所谓特殊值法，通俗来说就是一般的满足，特殊的也会满足，从而达到快速解题的目的。

关键词：特殊值;高中数学;选择题;应用

一、引言

高中数学是一个囊括了集合、不等式、函数、几何诸多知识点的学科。对很多同学来说，学习过程中存在着一定的困难。特殊值法是在对于解答高中客观题尤其是选择题中常用的一种方法，有其逻辑基础，即如果特殊值不成立，那么一般情况也不会成立;一般情况成立，特殊值也会成立;特殊值成立，一般情况不一定会成立。利用这种解题方法可以让同学们在数学考试中快速且正确地判断对错、大小，起到良好的解题效果。尤其是对于在考试中会觉得时间太紧不够用的学生，特殊值法是在学习中非常值得掌握的一项解题技巧，可以迅速将其他答案迅速排除，选出正确的答案。

二、高中数学解题中特殊值法的实际应用

（一）特殊值法

例 1：已知y=loga（2-ax）在区间 [0，1] 上是x的减函数，则 a 的取值范围为（）

A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.[2，﹢∞）

解析：这道题主要考查的是指数对数函数问题，我们可以从指数对数函数的性质获得与题目的相关隐形条件，即a >0且 a ≠ 1。此时可将B选项排除，又因为在[0，1]上是减函数，所以a>1，可将A选项排除。在剩下的C、D选项中进行对比，无关键在于考察2是否符合，此时特殊值法就是最好的解题办法了。将 2 代入原函数，即 y = log2（2 - 2x），可知其定义域为（﹣∞，1），与题目中给的[0，1]不符，因此，D选项也可排除，最终答案选 C。由此可以知道，只需考虑 “2” 这个特殊值即可，无需运用繁杂的计算去进行解题就可以得出正确的答案。

例 2：

已知函数y=f（x）是不为零的实数，而且f（x+y）=f（x）·f（y），当 x > 0 时，f（x） > 1。则x<0时，下面那个选项一定成立（）

A.f（-x） <﹣1 B.-1< f（x） < 0

C.0< f（x）< 1 D.f（x） > 1

解析：这道题目咋一看会觉得很难，让很多同学无从下手，其实只需代入一个特殊值，则问题就迎刃而解了。假设 f（x）=2?x，符合题目中给的其他条件。对此函数进行分析可知，x<0时，显然f（x）的取值范围为（0，1），所以选 C。对于此类抽象函数，通过最普遍的计算方法难度较大，应先考虑将其具体化;而指数函数又十分复杂，所以再进一步具体化，以固定的数值表示，这样解题难度就降低很多了。

（二）特殊数列法

例 1：一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（）

A.-24 B.84 C.72 D.36

解析：首先我们可以通过结论中不含 n，可以判定本题结论的与 n 取值无关，也就是说当 n取任意值时，答案都不会改变，因此，这道题便可以采用特殊值法来解答，对 n 取我们最熟悉的特殊值，如 n=1，此时 a1=48，a2=S2-S1=12 ，a3=a1+2d=-24，所以前 3n 项和为 36，故选 D。

（三）特殊函数法

例 1：如果奇函数 f（x）是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（）

A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5

解析：通过以上条件，我们无法求出具体的函数方程式，但是可以利用特殊值法构造满足题设条件的特殊函数 f（x）= 5/3x，通过对这个函数的判断，我们很容易知到 f（x）在区间[-7，-3]上是增函数，且最大值为 f（-3）=-5，故选 C。

（四）特殊位置法

例 1：过y=ax2（ a > 0 ）的焦点F作直线交抛物线与Q、P两点，若 PF 与FQ 的长分别是q、p，则 1/q+ 1/p = （）

A、2a B、1/2a C、4a D、4/a

解析：因为a是不确定的数值，所以当PQ这条直线与OP这条直线的位置也是不确定的，并且从结论可以看出1/q+ 1/p的值只a有关。因此可以考虑 PQ⊥OP 时，| PF| =| FQ|=1/2a，所以1/q+ 1/p = 2a + 2a = 4a，故答案选 C。

除以上几种方法外，还有特殊向量法、特殊图形法以及特殊点法，在此就不一一赘述。

三、结语

综上所述，特殊值法在高考的选择题中中考的并不多，一旦考上，往往是同学们失分的题目，高考不但考知识、能力，还考你对数学思想的理解和应用程度，一般与特殊的思想是高考考纲要求的数学思想。因此，对于高中生来说，特殊值法是一项值得掌握的解题技巧。

参考文献：