充分理解：做好解答分式方程的每一个步骤

樊梅芳

分式方程是初中数学的重要内容之一，对可化为一元一次方程的分式方程的学习，是在掌握了一元一次方程的解法和分式的运算基础上进行的.其重点是可化为一元一次方程的分式方程的解法及列分式方程解决问题，难点是能判断方程是否产生增根，理解分式方程产生增根的原因，并能解决有关增根的问题.在实际学习中，关于分式方程的问题出现错误较多，现对练习中经常出现的易混易错点剖析如下.

一、漏掉“检验”，解答过程不完整或产生增根

例1 解方程：[1x-3]=[3x].

【错解】方程两边同乘x（x-3），得：

x=3（x-3），

解这个方程，得：

x=[92].

所以x=[92]是原方程的解.

【分析】本题中缺少解分式方程的重要步骤——检验.错解的最后一步改为：“检验：当x=[92]时，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.

【点评】解分式方程的一般步骤是：（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，在求出未知数的值后应检验这个值是否使得原方程有意义且成立.

例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].

【错解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得：

（x-2）2-（x+2）2=16，

解这个方程，得：x=-2.

所以x=-2是原方程的解.

【分析】本题方程中未知数x的取值范围是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程转化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大为任意实数，所以x=-2是原方程的增根.这里漏掉“检验”导致了错误.本题错解的最后一步改为“检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程无解”.

【点评】解分式方程时要注意未知数的取值范围，作为检验方程解的条件.

二、常数项漏乘公分母，解答错误

例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.

【错解】方程两边同乘（2x-5），得：

x-5=1，

解这个方程，得：x=6.

检验：当x=6时，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.

【分析】本题中去分母时方程右边的常数项“1”没有乘（2x-5），并且在“检验”时没有发现x=6不符合原方程。

【点评】此类错误很难检查出来，所以在解可化为一元一次方程的分式方程时，要认真做好每一步，避免出现类似的错误.

【正解】方程两边同乘（2x-5），得：

x-5=2x-5，

解这个方程，得：x=0.

检验：当x=0时，2x-5≠0，

所以x=0是原方程的解.

三、忽略分数线的括号作用，解答错误

例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].

【错解】方程两边同乘（x-2），得：

2+3（x-2）=-1-x，

解这个方程，得：x=[34].

检验：当x=[34]时，x-2≠0，

所以x=[34]是原方程的解.

【分析】本题方程右边的分式[1-x2-x]乘（x-2）后应得-（1-x），正确结果为x=[32].

【点评】分式中的分数线具有括号的作用，如果分子是多项式，那么去分母时应用括号把分子括起来.

四、数量关系理解不清，导致用方程解决实际问题错误

例5 一辆汽车从甲地开往相距90千米的乙地，出发后第一个小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前20分钟到达乙地.求前一个小时的行驶速度.

【错解】设前一个小时的行驶速度为x千米/小时，则一小时后的速度为1.5x千米/小时.

根据题意，得：[90x]-[901.5x]=20

【分析】本题中时间表达式错误且时间单位不统一.根据行程问题中的路程、速度、时间三者的关系可得，原计划的时间为[90x]小时，实际所用的时间应为[1+90-x1.5x]小时，相等关系是：原计划的时间-实际的时间=20分钟，但所设未知数的单位是千米/小时，所以应将20分钟化为[13]小时，正确的方程为：

[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，

解得：x=45.

经检验，x=45是所列方程的解，所以前一个小时的行驶速度是45千米/小时.

【点评】用分式方程解决实际问题时，要仔细分析题中的数量关系，并统一各个量的单位，再根据相等关系列出方程，最后还要检验所得结果是否符合实际问题的意义.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区黑林中学）