分类讨论思想在高中数学专题复习中的应用

◇ 江苏 孙 华

分类讨论思想在高中数学专题复习中的应用

◇ 江苏 孙 华

分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一,解题中运用分类讨论思想的前提是“分类”,科学分类具有不重、不漏的原则.下面就解题中需要分类的常见类型,进行归纳总结.

1 按变量以及参数范围进行分类

通常情况下,含有参数与变量的数学问题,大部分需要运用分类讨论思想方能解答.学生在解决此类问题时,应考虑参数以及变量的变化对问题产生的影响,按照题目要求对变量以及参数范围进行分类之后再逐类解决问题.

例1角α的顶点为原点O,始边为x轴的正半轴.若角α的终边上存在一点P(2t,－4t),且t不等于0,求tanα以及sinα的值.

解析

角α终边上点的坐标为参数形式,因此需按照问题要求对参数进行分类.

2 按题目设定条件进行分类

部分题目中给定条件的分类信息较为明显,学生解决此类问题应按照题目设定条件给出的类别进行分类与解答,避免出现答案不全面的问题.

例2设将某圆柱的侧面展开,可得宽为2cm、长为4cm的矩形,求该圆柱体积.

解析

本题中含有隐藏条件,即用该矩形可围成2种体积不等的圆柱.一种是将长作为圆柱高,另一种是将宽作为圆柱高.

3 根据概念进行分类

部分题目没有明显的分类信息,而是将分类信息隐藏于题目当中,考查考生对概念的掌握程度.如学生在遇到带有绝对值的问题时,即使题目没有要求进行分类,仍需对题目进行分类.

例3求函数y＝|x＋1|＋|x－2|－2值域.

解析

函数y＝|x＋1|＋|x－2|－2与x轴的交点分别为x＝－1以及x＝2.因此x＝－1、x＝2即为分类讨论的界点.将定义域R分为3类:x＜1,－1≤x≤2,x＞2.

当x＜1时,得函数y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝－2x－1.

当－1≤x≤2时,得函数y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝1.

当x＞2时,得函数y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝2x－3.

在同一坐标系中,绘制各段函数图象,便能够求出函数值域为[1,＋∞).

4 按照数学定理、公式以及性质进行分类

高中数学中部分问题与所学定理、公式以及性质有密切联系.若题目条件发生变化,则所得结果也会相应产生变化.因此在解决该类问题时,便应将定理、公式以及性质作为分类依据.

再如对数函数问题的解决往往也需要分类讨论.通常情况下,对数函数y＝logax都是按照单调性进行分类讨论.

其单调性变化有2种情况:0＜a＜1和a＞1.

例4解不等式log＞－1.x

解析

若0＜x＜1,有＜;若x＞1,有＞.解得0＜x＜1或x＞3.

分类讨论思想是学生在解答问题中较为常用的思想,能够提高学生分析问题、解决问题的能力.教师在进行专题复习时,应加强锻炼学生分类讨论能力.

(作者单位:江苏省如皋市第二中学)