不等式恒成立问题的探讨

◇ 江苏 许建春

不等式恒成立问题的探讨

◇ 江苏 许建春

不等式恒成立问题涉及内容广、难度大、综合性强,是高考重点考查内容之一.此类问题在解决时涉及函数方程、数形结合、化归转化、分类讨论等思想,对于提高学生发现问题、分析问题、解决问题等思维能力有重要帮助.下面结合具体教学案例,对不等式恒成立问题的解题方法进行探讨和总结.

1 利用根的判别式

例1已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a,在R上f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

解析

2 利用集合间的关系

利用集合间的关系解决不等式恒成立问题,应先解出未知取值范围的变量,根据“[m,n]⊂[f(a),g(a)],则f(a)≤m且g(a)≥n”这一关系列不等式,即可求出a的取值范围.

例2当x∈(,3)时,|logax|＜1恒成立,求实数a的取值范围.

3 分离参数

把不等式进行恒等变形使参数与主元分离,求主元函数的最值,得出参数范围.如:

若a≥f(x)恒成立,则a≥fmax(x);

若a≤f(x)恒成立,则a≤fmin(x),然后求出f(x)的最大或最小值即可.

例3已知x2＋2x＋a＞0在x∈[1,＋∞)时恒成立,求a的取值范围.

解析

分离参数得a＞－x2－2x,把求a的取值范围转化为求f(x)＝－x2－2x在x∈[1,＋∞)上的最大值.因为二次函数f(x)＝－x2－2x在[1,＋∞)是减函数,易求得f(x)的最大值,得出a的取值范围.利用主元与参数分离的方法解决不等式恒成立的问题,思路清晰,过程简单,是一种常用的解题方法.

4 数形结合

数形结合是数学解题中的重要思想方法,通过数形结合可以使抽象的问题形象化,大大降低题目的难度.在解决不等式恒成立问题时,利用函数图象与不等式之间的关系:当f(x)＞h(x),函数f(x)图象恒在函数h(x)图象上方;当f(x)＜h(x)时,函数f(x)图象恒在函数h(x)图象下方.把不等式恒成立问题转化成图形去解决,使运算简单、快捷.

例4已知不等式3x2－logax＜0在x∈(0,1/3)内恒成立,求a的取值范围.

解析

通过对不等式移项变形得到3x2＜logax,把不等式转化为2个函数f(x)＝3x2,h(x)＝logax.画出2个函数的图象,根据图象进行大小比较.

通过图象可以发现x∈(0,1/3)范围内,当a＞1时,f(x)＝3x2的图象在h(x)＝logax图象的上方,这种情况不成立;当0＜a＜1时,由图象(如图1)可知,h(x)＝logax过点A(1/3,1/3)或在点A的上方,得loga(1/3)≥1/3,解出a的取值范围,得出结论.

总之,不等式恒成立问题的解法灵活多样,在具体的解题中需要运用化归转化、数形结合、分类讨论等数学思想,应注意解题方法的选用,进而化繁为简,提高解题效率.

图1

(作者单位:江苏省东台市安丰中学)