一类函数最值问题的探讨

◇ 陕西 徐建平

一类函数最值问题的探讨

◇ 陕西 徐建平

区间上二次函数的最值问题是初等数学中解决“恒成立”问题的重要基础之一.在长期的教学中,笔者深感此类问题是学生学习中的一个薄弱环节.现将此类问题归纳如下,愿与同行们商讨.

1 区间给定,对称轴确定

1)若对称轴在区间内,二次项系数为正时最小值在对称轴取得,最大值在区间端点取得,反之最大值在对称轴取得,最小值在区间端点取得.

例1求函数y＝cos2x＋2sinx的值域.

解析

y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.设t＝sinx,则－1≤t≤1,则原函数可化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－)2＋,所以当t＝时,ymax＝3/2,当t＝－1,ymin＝－3,所以所求函数的值域为[－3,3/2].

例2(2013年全国新课标Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于x＝－2对称,则f(x)的最大值为________.

解析

因为点(1,0)、(－1,0)在函数f(x)的图象上且图象关于直线x＝－2对称,所以点

2)若所给区间位于对称轴的左侧或右侧,只须利用二次函数的单调性即可求出最值.

例3求的值域.

解析

该题的解法较多,本文只介绍转化为区间上二次函数求最值的方法.

2 区间给定,对称轴含参数

1)若二次函数的最大值、最小值均需求解时,应以区间的两端点和区间的中点为界点对参数分4种情况进行讨论.

例4求函数f(x)＝x2－2ax－1,x∈[0,2]的值域.

解析

f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1.当a＜0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,fmin(x)＝f(0)＝－1,fmax(x)＝f(2)＝3－4a.

当0≤a≤1时,fmin(x)＝f(a)＝－a2－1,fmax(x)＝f(2)＝3－4a.

当1＜a≤2时,fmin(x)＝f(a)＝－a2－1,fmax(x)＝f(0)＝－1.

当a＞2时,f(x)在[0,2]上单调递减,fmin(x)＝f(2)＝3－4a,fmax(x)＝f(0)＝－1.

综上,当a＜0时,值域为[－1,3－4a];当0≤a≤1时,值域为[－a2－1,3－4a];当1＜a≤2时,值域为[－a2－1,－1];当a＞2时,值域为[3－4a,－1].

2)若只须求二次函数的最小值,应以区间的两端点为分界点对参数分3种情况进行讨论.

当λ＞1,cosx＝1时,fmin(x)＝1－4λ,由题意知1－4λ＝－,解得λ＝,这与λ＞1矛盾.

综上,λ＝.

3)若只须求二次函数的最大值,应以区间的中点为分界点对参数分2种情况进行讨论.

(1)求a、b的值.

(2)若对t∈[0,2],不等式f(t2－2kt)＋f(2t2－k)＞0恒成立,求k的取值范围.

解析

(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)＝0,f(－1)＝－f(1),所以

又因为f(x)单调递减,所以t2－2kt＜k－2t2,即对t∈[0,2],3t2－2kt－k＜0恒成立.

解析

依题意可设P(0,1),Q(x,y),则

点Q在椭圆上,所以

因为a＞1,所以1－a2＜0,本题转化为求开口向下的二次函数区间上最大值的问题.按常规思路应对以区间的两端点－1、1为界点分3种情况讨论.

由于a＞1,所以,故只需对以－1为界点分2种情况讨论.

3 区间的端点含参数,对称轴确定

求区间端点含参数且对称轴确定情况下二次函数的最值,首先需明确题意要求,弄清楚是最大、最小值都需要求,还是只求最小值或最大值,然后根据情况,结合二次函数的图象,以区间的端点、中点位于对称轴的左、右进行讨论.

例8已知函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t,t＋1](t∈R)上的最小值为g(t),试写出函数g(t)的表达式.

解析

f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.

当t＋1＜2,即t＜1时,f(x)在[t,t＋1]上递减,g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.

本文运用分类讨论思想对二次函数的最值问题进行了求解.解题中还应用了数形结合思想,即借助二次函数的图象,将所要解答的题目划归为本文所述某一类型问题进行求解.总之,熟练掌握二次函数的图形特征(对称轴、最值、单调性等)是求解其最值问题的一把利器.

(作者单位:陕西省西安市第八中学)