感悟方法探索规律

王鹄

人教版《数学》五年级下册《探索图形》是在认识长方体和正方体后，安排的一节综合与实践活动。目的是让学生运用学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体表面涂色再分开后，每个小正方体表面涂色的可能性及每种可能的数量和位置特征，培养学生的空间想象能力和推理能力，体会分类计数、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。

一、化繁为简，明确探究方向

教师出示四阶魔方，让学生认真观察，并用数学语言描述魔方。学生有的指出它是正方体，有的指出它有6个面、8个顶点、12条棱，还有的发现它是由64个小正方体拼成的。教师继续设问，64个小正方体拼成的大正方体，它的6个面都涂上了颜色，请想象一下，64个小正方体会有几个面被涂上颜色？如果根据涂色的情况给这64个小正方体分类，你想怎样分？学生指出按照涂色的面数可以分为三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色。每一类小正方体分别有多少个呢？学生一时还算不出来。

教师先引导学生思考：最少用几个小正方体可以拼成一个稍大的正方体？学生思考后发现至少需要8个小正方体才能拼成一个大正方体。教师用课件出示①号图形，用8个棱长1cm的小正方体拼成棱长为2cm的大正方体后，把它的表面涂上颜色，请想象一下，这些小正方体会有几个面被涂上颜色？学生指出3个面后，教师引导学生把要研究的问题及观察的数据记录下来并以表格的形式呈现（表格如下）。

接着继续追问，如果将这个大正方体拼得再大一点，需要多少个小正方体？学生发现需要27个小正方体，也就是用棱长1cm的小正方体拼成棱长为3cm的的大正方体。运用类推的思考方式，接下来是要继续探究棱长为4cm、5cm、6cm的大正方体中各小正方体表面的涂色规律。

二、分类计数，收集探究材料

教师用棱长1cm的小正方体拼成棱长为3cm的大正方体，把它们的表面分别涂上颜色后问学生：其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？还有一个正方体是哪一种？学生讨论交流后发现，还有一种是六个面都没有涂色的。在学生填表的过程中，教师追问：三面、两面、一面和没有涂色的小正方体分别在正方体的哪个位置？如果拼成棱长为4cm的大正方体后，需要多少个小正方体？其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？学生借助直观图，发现三面涂色的小正方体共8个，在原来大正方体的8个顶点的位置；两面涂色的共有24个，分别是每一条棱上的中间两个（此处有学生是数出来的，有学生是用2×12算出来的）；一面涂色的共24个，分别是每个面的正中间的4个；没有涂色的块数是8个（64-8-24-24=8）。

三、数形结合，推理概括规律

通过前几次的探究，学生结合图形发现了如下规律：三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。不论棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是8个。两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置，只要用每条棱中间两面涂色的小正方体的个数乘12，就得出两面涂色的小正方体的总个数。一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置，只要用每个面上一面涂色的小正方体的个数乘6，就得出一面涂色的小正方体的总个数。没有涂色的个数=总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的块数。据此，笔者引导学生探讨棱长是5cm、6cm时的涂色规律，学生合作探究后将所得结果填写在表格中再次验证了上述发现。如果拓展到一般规律：把棱长为n的大正方体涂色切割，三面涂色、两面涂色、一面涂色及没有涂色的块数的小正方体各有多少个？师生共同归纳得出：三面涂色的在正方体顶点的位置，因为正方体有8个顶点，所以都有8个；两面涂色的在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以有（n-2）×12个；一面涂色的在正方体每个面除去周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以有（n-2）2×6个；没有涂色的在正方体里面除去表面一层的位置，所以有（n-2）3个，或者，用总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的块数。

教学中，教师采用小组活动与全班集体活动相结合的形式，放手让学生用小正方体摆一摆，拿魔方看一看，让每一个学生都有活动的空间和时间，使学生在数学实践活动中学会求知、学会合作、学会交流，在活动中获得了成功的快乐。学生通过探索图形涂色规律的活动，深化了对正方体特征的认识，不断拓宽了获取数学知识的渠道，感受了数学思考的魅力。在探索规律的过程中，教师引导学生初步体会了建立数学模型的过程，即从具体到抽象，从特殊到一般，逐步揭示图形之间的内在联系，鼓励学生用数学语言和模型正确地表达发现的规律。

整节课，充分体现了让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解释与运用的过程，在让学生根据直观立体图形进行推理想象进而归纳出不同涂色面数的小正方体的数量的过程中，提高了学生的空间想象能力。

（作者单位：襄阳市襄州区教研室）