对“牛吃草”问题的解析

白安文

【摘 要】“牛顿问题”俗称“牛吃草”问题，它是小学数学中有一定难度的典型问题，其难点在于草每天都在生长，数量在不断年华，本文将对此进行解析。

【关键词】问题；牛吃草；解析

有这样的问题，牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量愈多。我们可以把草的总量看作是由两部分组成的：①某个时间期限以前草场上原有的草量（这个时间期限以前草场上草的总量是不变的）；②这个时间期限后草场上草每天（周）生长而新增的草量。相应地，我们把牛分成两部分，一部分专门吃原有的草；另一部分专门吃完草场上每天（周）新生长的草。当原有的草吃完后，每天（周）新生长的草也同时吃完，这时草地中的草就视为吃完。

下面对此问题进行分析。（见图示）

图示给出23头牛9周的吃的总草量比27头牛6周吃的总草量多，多出的部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样以来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。

所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。

现有21头牛，牧场上的草用这些牛几周才能吃完？我们现在把21头牛分成两部分，一部分用15头牛专吃完每周新生长的草，另一部分为剩余的6头牛（21-15=6头牛）吃原有的草。原有的草（72头牛吃一周的草量）可供6头牛吃72÷6=12（周）。原有的草吃完了，同时专吃新生长草的15头牛也就没草吃了。所以牧场上的草够21头牛吃12周。

对此问题也可以进行如下分析解决。

图示原有草量一定，每周草均匀生长，我们可以用方程的方法解决。

设原有草量为X头牛一周吃的草量，每周新生长的草量为Y头牛一周吃的草量。则得到下面的二元一次方程组：

x+6y=27×6x+9y=23×9

利用加减消元法解得，

x=72y=15

若21头牛吃n周时，从而得到 72+15×n=21×n 解得：n = 12 所以，可供21头牛12周吃完。

若把牧场上原有的草换为水库中原有一定的水量，每天生长量换为河水每天均匀入库的水量。把牛换为抽水机，则原题可变成下列实际应用题：一水库原有一定量的水，河水每天均匀入库。27台抽水机连续6天可抽干，若改用23台同样的抽水机可连续9天抽干。现用21台同样的抽水机（不能少于1 5台，否则永远抽不干），可连续几天抽干？若要求8天抽干，则需要几台同样的抽水机？

综合以上分析过程，分析解决此类问题时，关键先要解决原有量和新生长量，然后把“牛”分成两部分：专“吃”原有量和专“吃完”每天（周）新生长量。只要把握这些环节，这类问题将会迎刃而解。

参考文献：

[1]钟 书 小学奥数举一反三 吉林教育出版社 2016