函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略
2017-01-11秦传明杨子林
秦传明+杨子林
摘 要:高三数学复习的核心任务是让学生构建知识、方法体系,其中,解决函数中不等式恒成立、能成立问题是关键的一环。作为数学教师,应灵活转化,构造合理的函数,利用函数思想帮助学生解决函数中不等式恒成立、能成立问题。
关键词:函数;解题;策略
中图分类号:G63 文献标识码:A 文章编号:1673-9132(2017)05-0221-02
DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.139
高三复习中,函数中不等式恒成立、能成立问题是难点。在实践中,我们发现函数、方程、不等式三者密不可分,若将方程、不等式的两边都看成函数,使方程问题、不等式问题转化为函数问题,便能用函数思想解决含参数的不等式恒成立、能成立问题。比如,通过灵活转化,构造合理的函数(由于等价转化的方式不同,构造出的函数也不同,因此导致解题难度和解题长度也就不同);避免分类讨论,使用分离参数法(由于参数与变量是相对而言,因此该法也可称为分离变量法)等。
下面就函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略作以阐述,与大家共勉。
例1. ,求f(x)≥g(x)在恒成立时a的取值范围。
分析:对于任意,有f(x)>g(x)恒成立,
y=f(x)的图像在y=g(x)图像的上方,
F(X)=f(x)-g(x)>0在x∈[a,b]恒成立。
解:xinx-ax≥-x2-2在恒成立,即在恒成立,设,则令h'(x)>0,得 x>1或x<-2,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1, 上单调递增,h(x)min=h(1)=3,所以a≤3。
例2.已知f(x)=xex,g(x)=-(x-2)2+a,若对于Vx1,x2∈R,都有f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
分析:对于,都有f(x1)≥g(x2)恒成立y=f(x)的图像上任意点都比y=g(x)图像的任意点高 f(x)min≥g(x)max。
解:,则f(x)在上单调递减,在 上单调递增,
则,, 所以。
例3.已知,对于,都有恒成立。求实数m的取值范围。
分析:若任意的,恒成立
y=f(x)的图像上任意两点的纵坐标的差的绝对值小于等于m
。
解:f'(x)=x2-4x+3,令f'(x)>0,得x<1或x>3,
所以f(x)在上单调递增,在[1,3]上单调递减,在[3,]上单调递增。
,所以,则 。
例4:已知,若,,有。求实数m的范围。
分析:,对于,恒成立。只需中存在一个值比,中的值小即可,我们可做一形象的比喻:将看作甲班同学的成绩,看做乙班同学的成绩。题目可转化为:甲班所有人的成绩>乙班其中一个人的成绩,则只需甲班的最低分(最低分都大于,则以上所有全成立)大于乙班的最低分(只需有比甲班最低分小的即可)。
解:,,,
。
于是,,
。
例5.已知,。若, ,有。求实数m的范围。
分析:甲班所有人成绩>乙班所有人的成绩,只需甲min >乙max 。
解:,,
0>1-m,m>1。
例6.已知,若, 有。求实数m的范围。
分析:甲班有一个人的成绩>乙班所有人的成绩,只需甲max>乙max,
,,
9>1-m,m>-8。
例7.已知,。若, ,有。求实数m的范围。
分析:甲班有一个人的成绩>乙班有一个人的成绩,只需甲max>乙min,
解:,,
, 。
通过一题多解,学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法,开拓解题思路,增强思维的灵活性、变通性、创造性,从多种解法的对比中优选最佳解法。