三角形全等证明的基本类型与方法

周 杨●

江苏省南京市金陵中学龙湖分校(210001)



三角形全等证明的基本类型与方法

周 杨●

江苏省南京市金陵中学龙湖分校(210001)

三角形全等证明题怎么写，要注意什么？有没有什么套路可循？现将初中阶段常见的几种三角形全等证明题类型及思想方法分类说明．

一、弄清三角形全等证明题的基本类型

从苏科版数学八年级上册第一章和第二章中证明题的梳理归纳中发现按题目给定条件可将三角形全等证明题大致分为四种类型．具体如下：

1.条件(图形)中隐含公共线段

案例1 已知：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AB=CD，BE=DF，AF=CE．

(1)求证：△ABE≌△CDF;

(2)判断AB与CD的位置关系并说明理由．

分析 问题(1)由条件入手，直接找到三角形全等的两个条件，题目中的间接条件AF=CE转化为三角形全等的第三个直接条件．本题许多学生容易犯错，把间接条件AF=CE错误当成三角形全等的一组要素来使用．此类问题的条件简单，在审题时应提醒学生找到相等的线段在什么地方？平行的线段在哪？如把题目中的已知条件在图形上标出来之后即可发现问题(1)根据(SSS)方法即可证明三角形全等.问题(2)由三角形全等得到判定两直线平行的条件∠A=∠C．

2.条件(图形)中隐含公共角

案例2 已知，如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．AC与BE相交于点G，AD与CE相交于点F，AD与BE相交于点O．

(1)求证：BE=AD；

(2)求∠AOB的度数；

(3)判断△CGF的形状并证明．

分析 问题(1)要证明AD=BE，我们仔细观察几何图形不难发现有两个三角形的形状大小完全一样，由此启发我们想到只要证明△ACD≌△BCE即可．问题(2)怎么证明呢？还是先找到△CGF，然后认真观察几何图形，很容易猜想到△CGF是等腰三角形或等边三角形．通过观察发现△BCG可以通过旋转得到△ACF；或者△CGE通过旋转得到△CFD.先得等腰三角形，再找一个角是60°，得到等边三角形结论．这一类型的几何证明关键是图形观察能力与数形结合能力．

3.两角与另外某一角的和相等

案例3 如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．直线CD经过∠BCA内部时，请解决下面两个问题：

(1)如图1，若△CBE≌△ACF且∠BCA=∠α，求∠α的度数．

(2)如图2，若0°<∠BCA<180°，观察问题(1)中∠α与∠BCA两角关系，并添加一个∠α与∠BCA应满足的条件____，使∠CBE=∠ACF．结合添加的条件，证明：△CEB≌△AFC．

分析 问题(1)学生经过计算后对“两个角与另外一个角和相等，那么这两个角相等”这样的等量代换关系也会有更深刻的认识，为解决后续问题(2)积累经验．如将题目改变一下：“如图3，直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出关于EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想,直接写出结论，不需证明．”变式后题目的形式发生变化，但基本思路方法不变，故提醒学生借鉴上一题的解题策略运用类比思想解决问题．

二、三角形全等证明方法的一般步骤

1.审题

要求一边读题一边根据题意、对照图形把题目中的已知条件和求证的结论，尽量用自己的语言说出来，明确题目已经告诉了什么．弄清哪些是直接条件(证明结论时候可以直接拿来使用的条件，如证明三角形全等可以直接用的边或角，直接拿来证明两直线平行的同位角相等之类条件)，分清哪些是间接条件(不能被用来直接应用的，需要转化为直接条件的条件)，找出图形中隐藏的条件(如案例1中的公共边EF，案例2中的的公共角∠ACE)．

2.猜想与整理

如案例2，仔细观察图形发现有两个三角形的形状大小完全一致，即全等．再发现这类证明题每个问题都蕴含着：某两个角与其中的一个角的度数之和都等于同一个角度，然后通过等量代换得到某两个角相等．如∠BCE+∠ACF=∠α或180-∠α．这里虽然没有真正意义上的公共角，但通过与另外两个角和相等，就可以根据等量代换得到另两个角相等．

3.整理分析思路，书写证明过程

通过添加条件，运用找到的∠BCE+∠ACF=∠BCE+∠CBE=180-∠α关系，转化得到三角形中另一组相等角，然后将三角形全等三组条件按全等类型归纳好，即可证得全等并解决后续问题．

4.检查

比较难的证明题，不能像上面那样直接4步骤就可以了，要综合进行步骤1、2，由问题入手大胆猜测，这种类型问题多数要运用三种基本图形变换，运用转化思想将一条边或一个角变换到另一个位置后构造全等图形．

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