高中数学重要的思想方法——函数与方程思想

江苏省淮阴师范学院附属中学 窦剑眉

高中数学重要的思想方法
——函数与方程思想

江苏省淮阴师范学院附属中学 窦剑眉

函数与方程思想是高中数学中一种重要的思想方法，也是高考考查的重要思想方法之一。 函数与方程思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力。 因此，函数与方程思想越来越成为数学高考中长考不衰的热点。

函数思想；方程思想；转化；应用

函数与方程思想就是高中数学的常用思想方法之一，也是历年高考长考不衰的热点。函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数，就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；参数方程更具有函数因素，属于能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。 正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

下面我将结合平时的教学实践，对“函数与方程”在解题中的运用及其求解策略进行初步分析，以期起到抛砖引玉的作用。

一、 函数与方程思想在应用时的相互转化

例1 如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围。

【分析】：可分离变量为a＝－cos2x＋sinx，转化为确定的相关函数的值域。

解法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sinx。

设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])。显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解。

易求得f(x)的值域为(－1，1]。

解法二：令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0，1]。将方程变为t2＋t－1－a＝0。

依题意，该方程在(0，1]上有解。设f(t)＝t2＋t－1－a。

其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－。

【评注】研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决。

二、 函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用

【分析】参数a隐含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其他变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”。

三、函数与方程思想在数列问题中的应用

例3 设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0 。

①求公差d的取值范围； ②指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。

【分析】： ①问利用公式an与Sn建立不等式，容易求解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将Sn中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大值的函数最值问题。

【评注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活运用、巧妙结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。

总之，综观高中数学，函数的图象及性质在解题中的应用非常广泛，而函数与方程思想是高中数学最重要也是最常用的思想方法之一，在解题中数学老师要做好函数与方程关系的揭示与转化，启发学生深刻认识数学问题的实质——数学知识的精髓，才能将知识转化为能力，才能提高学生灵活运用函数与方程思想解决问题的能力。