识别模型特征选准概率公式

2017-01-09朱贤良付朝华

数理化解题研究 2016年34期

关键词：甲类乙类牛牛

朱贤良付朝华●

安徽省枞阳县会宫中学(246740)

识别模型特征选准概率公式

朱贤良付朝华●

安徽省枞阳县会宫中学(246740)

法国数学家拉普拉斯曾言：“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．”意即概率问题在现实生活中广泛存在．在高中数学学习中，概率与统计也是六大核心知识板块之一，分布在必修3与选修2-3(理科)、选修1-2(文科)两册书中．在数学高考中，概率与统计作为年年都考的稳定考点，一“大”一“小”的模式几乎成为一种标准配置．

综观历年全国各地高考试题，概率与统计部分的热点与难点在于概率的计算．能否识别各种概率模型的典型特征，选择适当的概率公式进行计算，直接决定着解题的成败．本文结合部分典型问题对高中概率模型与公式作一整理，力求更准确、更有效地求解概率问题．

一、古典概型

例1 (2011年高考陕西卷·理10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )

点评在解古典概型问题时，准确、合理地利用分类加法、分步乘法计数原理与排列组合知识计数是正确计算概率的关键所在．

二、几何概型

例2 (2012年高考辽宁卷·理10)在长为12 cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ( )

点评解决几何概型的难点在于如何建立起样本空间、随机事件与线段或平面区域或空间几何体之间的对应关系．

三、概率的加法公式

如果随机事件A包含n种互斥的情况A1,A2,…,An，即A=A1+A2+…+An(和事件，也可以写成并事件)，则P(A)=P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．

例3 (人教A版教材选修2-3第53题例2)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

(1)任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率；

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．

点评概率的加法公式P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)成立的前提是事件A1,A2,…,An两两互斥．第(2)问还可以看成是条件概率问题，课本就是运用条件概率公式来求解的．

四、条件概率

例4 (2014年高考全国Ⅱ卷·理5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ).

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

点评求解条件概率，就必须先弄清楚前提事件与目标事件，再选用条件概率公式进行计算．

五、概率的乘法公式

(1)求甲恰用4局赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．

故X的分布列为

X2345P59291081881

点评简单地理解，当事件A包含A1,A2,…,An这些情况时，P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，前提是A1,A2,…,An中两两互斥；当事件A发生相当于A1,A2,…,An同时发生时，P(A)=P(A1)P(A2)…P(An)，前提是A1,A2,…,An中两两独立．

六、独立重复试验模型

解析事件“牛牛同学恰好答对其中2道题”包含了3种情况：牛牛同学答对2道甲类题，0道乙类题；牛牛同学答对0道甲类题，2道乙类题；牛牛同学答对甲类题与乙类题各1道．分别记三个事件为A,B,C，则牛牛同学恰好答对其中2道题的概率为P=P(A)+P(B)+P(C)．

点评准确识别独立重复试验模型是正确求解的关键，比如本题中答3道甲类题就相当于将答甲类题这一试验重复3次，答2道乙类题就相当于将答乙类题这一试验重复2次．

七、对立事件的概率

例7 创办于1999年的农心杯世界围棋团体锦标赛是世界上水平最高的围棋团体赛，每年一届，每届由中国、日本和韩国各派出5名棋手，采用擂台赛的方式，三国棋手轮番上阵，最后留在擂台上的队伍获得冠军．已知某届比赛进行到最后阶段时，中、日、韩三国分别还剩下3、0、1位棋手，且中国三位棋手对局韩国棋手获胜的概率分别为p1,p2,p3，则中国队获得冠军的的概率为____．