基于微惯导随机误差时间序列建模的改进组合导航方法*

王鼎杰，吕汉峰，吴 杰

(国防科技大学 航天科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

基于微惯导随机误差时间序列建模的改进组合导航方法*

王鼎杰，吕汉峰，吴 杰

(国防科技大学 航天科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

针对低精度、低成本微机电惯性测量单元随机误差建模效果不理想会极大影响组合导航性能的难题，采用时间序列分析方法建立了微机电惯性测量单元随机误差的自回归滑动平均模型，通过对卡尔曼滤波器的状态变量进行增广，建立系统动力学方程和观测方程，实现对零偏误差的在线估计。实测数据分析验证了该随机误差建模的有效性。实测数据处理结果表明，该方法能够显著提高低成本微惯性解算外推精度，增强微惯性/卫星组合导航可靠性。

微机电系统；惯性测量单元；随机建模；自回归滑动平均；扩展卡尔曼滤波

不同于传统捷联惯性导航系统(Strap-down Inertial Navigation System, SINS)，微机电(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)惯性测量单元(MEMS-based Inertial Measurement Unit, MIMU)是一种基于微机电技术，具有小体积、轻质量、粗放制作、快速启动、低成本、大批量、高可靠性等优点的航位递推系统，这些优势使得MIMU正广泛应用于智能交通、微纳卫星、小型无人机、自主机器人和智能弹药等领域的导航定位[1-2]。MIMU面临的主要困难在于其恶劣的输出稳定性、热敏感性和噪声特性，这些恶劣的特性严重地限制了MIMU在高精度、高可靠导航领域中的应用。然而，MIMU的性价比和广泛适用性优势值得人们思考并设计有效的方法来进一步提高其导航精度、扩展其应用领域。

将惯性测量单元(Inertial Measurement Unit, IMU)敏感载体(如车辆或飞行器)运动的视速度增量和角度增量积分可获得其位置、速度、姿态等实时全维导航信息，但IMU测量值常被诸如传感器噪声、标度因子、零偏不稳定性等不同类型的噪声所污染。惯性导航解算中的积分运算会将这些误差累积，导致解算位置和速度显著偏移，使MIMU难以做到长时间精确导航[3]。因此，导航状态的精确估计要求对惯性测量噪声进行精确建模。

目前，随机噪声的建模方法主要分为频域方法和时域方法两大类[4-5]。频域法主要是使用功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)函数估计噪声在白噪声激励下的传递函数模型，该方法难以实时估计。时域随机噪声建模方法有自相关函数法、自回归滑动平均(Auto-Regressive Moving-Average, ARMA)建模方法和Allan方差分析方法。自相关函数与功率谱密度函数是傅里叶变换对，故两种方法完全对偶[4]。ARMA建模方法将自协方差与差分方程系数联系起来，将随机噪声表示为ARMA过程。这种模型的优点是建模简单，易于理解，从数据本身的相关性出发，但是模型对参数敏感且不适于处理奇功率谱过程、高阶过程或大动态范围的过程[5]。Allan方差分析方法则是把均方根(Root Mean Square, RMS)随机误差表示为相关时间的函数，该方法能够确定数据噪声中潜在的随机误差类型和特性，目前已经作为标准写入激光陀螺噪声分析的IEEE Standard[4,6]，该方法的缺点是噪声建模维数过高，不利于后续处理。

为了提高MIMU自主导航精度，国内外学者在MIMU误差在线标定、随机误差建模、补偿和滤波等领域展开了大量研究工作。Xing[2]指出，低成本MEMS加速度计和陀螺仪零偏误差可表示为加表和陀螺零偏量的随机常数部分、一阶高斯-马尔科夫过程近似零偏以及零偏滤波增量三个随机过程之和。Jacques等[7]采用高阶自回归(Auto-Regressive, AR)模型实现MIMU随机建模。以上两种方法均会扩大滤波器状态维数，可能导致滤波不稳定甚至发散。Minha[8]采用ARMA模型分析了MIMU误差源，但未给出随机误差模型的定量描述。文献[9-11]利用ARMA模型分析微机电陀螺/光纤陀螺零偏，但未对模型进行动态实验检验，且当信息量较大时，计算量增大、计算精度下降。目前，基于AR模型和高斯-马尔科夫模型的低成本MIMU随机误差建模参与组合导航时，在全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System, GNSS)中断10 s的条件下其单向外推精度为15 m(1σ)[8, 12]。

1 MIMU静态数据ARMA建模

以z轴MEMS陀螺为例，其他轴向的加表和陀螺可采用相同方法分析，不再赘述。通过对MEMS陀螺z轴(敏感地球自转角速度的轴向)静态输出数据扣除常数项后，得到的时间序列{xt}的物理意义是陀螺零偏噪声。采用ARMA模型，将零均值平稳随机序列{xt}表示为线性差分方程的形式：

xt-φ1xt-1-…-φNxt-N=at-θ1at-1-…-θMat-M

(1)

式中，N和M是ARMA(N,M)模型参数，at是白噪声序列，φi和θj分别是模型AR部分和滑动平均(Moving Average, MA)部分参数，N表示模型阶。

采用型号为ADIS16405的低成本MIMU来收集动态惯性测量数据，该MIMU性能参数见表1。

表1 MIMU噪声参数Tab.1 Noise parameter of MIMU

1.1 数据特性检验

运用假设检验方法，可检验时间序列的平稳性与正态性，这是进行ARMA建模的前提。

1.1.1 平稳性检验

平稳性是指宽平稳性，即随机过程的均值和方差为常数，且其自协方差函数只与时间间隔有关而不依赖时间长度。z轴陀螺静态输出时间序列散点图如图1所示，由图1初步判断该时间序列接近一个平稳序列。进一步对数据进行扩展迪基-富勒(Augmented Dickey-Fuller，ADF)单位根检验[13]，其检验统计量值为-110.175 3，小于ADF表中1%～10%水平的所有临界值，因此拒绝原假设，认为原始序列是符合平稳性条件的。

图1 z轴陀螺静态输出Fig.1 Static output of z-axis gyroscope

1.1.2 正态性检验

对原始数据进行Kolmogorov-Smirnov检验和Jarque-Bera检验[13]，检验结果如表2所示。由表2可知，两种检验统计量均大于各自5% 水平的临界值，因此拒绝接受该序列服从正态分布，即认为原始序列是不符合正态分布的。

表2 z轴陀螺静态输出数据正态性检验Tab.2 Normal probability test of z-axis gyro output

1.2 模型参数辨识

目前广泛应用的时间序列建模方法有两种[14]，一种是Box-Jenkins方法(简称B-J法)，另一种是Pandit-Wu方法(简称P-W法)。B-J法建模基于序列相关性分析，计算工作烦琐。而P-W法是一种程序化的动态数据系统(Dynamic Data System, DDS)建模方法，采用的策略是ARMA(2n,2n-1)法实现阶次和模型参数的程序化辨识，即n由低阶向高阶建模，当模型阶次2n确定后，m=2n-1随之确定。因此，把原来一个二维(n,m)搜索转化为一维(2n,2n-1)搜索问题。由低阶2n向高阶2n+2的ARMA建模后，均需计算残差平方和，根据残差平方和是否有显著减小来判断是否继续向高阶建模。F检验或AIC准则均能用来判断残差平方和是否发生显著减小。当每个阶次的残差平方和变化不大时，则选用低阶模型。P-W方法建模流程如图2所示。表3列出了采用P-W方法得到的系统阶次和参数辨识结果。

由表3可知，当2n=2，AIC达到最小值-10.197 1且F检验量t(2,4)=0.505 0<2.995 7(F分布表中的F0.05(2, +∞)值)，即认为相应残差平方和的下降已不显著，由此判断系统阶次为2，相应的模型是ARMA(2,1)。

1.3 模型适用性检验

在完成ARMA(2，1)模型参数估计后，通过对ARMA(1，1)和ARMA(3，2)的建模残差平方和进行F检验获得更加合理的ARMA模型。用F检验法对ARMA(2,1)和ARMA(3,2)两模型进行比较检验，显著水平取α=0.05，t=-19.543 5<2.995 7。经检验，ARMA(2,1)比ARMA(3,2)适用。再将ARMA(1,1)和ARMA(2,1)进行比较检验，显著水平取α=0.05，t=-10.190 5<2.995 7。经检验，可以得出ARMA(1,1)比ARMA(2,1)适用。

图2 P-W法流程图Fig.2 Scheme of P-W method

ARMA(2n，2n-1)AICt(2n，2n+2)AR(1，1)-10．19432887．9970ARMA(2，1)-10．19710．5050ARMA(4，3)-10．197113．9407ARMA(6，5)-10．1971-10．7150ARMA(8，7)-10．1971

基于此，工程实现中可选择ARMA(1,1)为MIMU的z轴陀螺输出数据的工程近似模型，即：

xt-1.000 0xt-1=at-0.999 4at-1

(2)

对ARMA(1,1)建模后的数据残差做自相关性检验和偏相关性检验，如图3所示。由图3可知，拟合后的残差基本可看作白噪声，即ARMA(1,1)描述MIMU的z轴陀螺静态输出零偏误差是适用的。同理，可对x，y轴MEMS陀螺和x，y，z轴加计零偏噪声进行ARMA建模。

(a) 残差自相关函数(a) Residuals autocorrelation function

(b) 残差偏相关函数(b) Partial autocorrelation function of residuals图3 建模适用性检验Fig.3 Autocorrelation test of ARMA residuals

2 基于ARMA模型的MIMU随机误差在线补偿方法

当系统噪声是不相关的白噪声时，标准卡尔曼滤波状态估计是最优估计。工程上常假设系统和观测噪声是高斯白噪声，以简化处理。但是噪声实际特性不一定符合假设，这时得到的状态估计是次优估计。此时，必须对噪声特性进行分析，改进模型或白化有色噪声，这是本文ARMA误差建模的目的。

分析可知，通过对MEMS陀螺和加表的静态输出零偏误差进行分析可构建MIMU的ARMA(1,1)模型描述MIMU噪声数据的动态特性，由此可以基于扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)实现对GNSS/MIMU组合导航系统状态的最优估计。

2.1 系统状态模型

描述陀螺和加表(g=gyro，a=accelerometer)零偏特性的ARMA(1,1)差分方程为：

(3)

式中，下标“·”表示MIMU的x，y或z轴向分量。

对卡尔曼滤波器9个常用状态量增广，即增加MIMU的x，y和z轴向陀螺和加表零偏误差状态变量。增广卡尔曼滤波器状态量为：

δX=[δr1×3;δv1×3;δψ1×3;bgx,t,bgy,t,bgz,t;bax,t,bay,t,baz,t]T式中：δr1×3,δv1×3,δψ1×3分别表示位置误差矢量、速度误差矢量、姿态失准角矢量；bgx,t,bgy,t,bgz,t分别表示x轴、y轴、z轴方向的加表零偏；bax,t,bay,t,baz,t分别表示x轴、y轴、z轴方向的陀螺零偏。

(4)

(5)

(6)

wk表示系统动力学噪声，其协方差阵Q为：

(7)

(8)

(9)

2.2 观测模型

(10)

3 试验分析

为了检验本文随机误差建模方法，基于静态标定数据建立ARMA(1,1)模型，对一组车载试验数据进行了处理。采用多频GNSS-RTK精密相对定位定速结果，与MIMU提供的导航数据进行信息融合。

为了比较所提ARMA误差建模方法的准确性，将假设陀螺零偏噪声是白噪声的传统9状态卡尔曼滤波组合导航方法与本文对零偏噪声ARMA建模的15状态卡尔曼滤波组合导航方法事后导航处理结果进行比较，并通过连续多次间断10 s GNSS数据(事后处理即是把10 s的GNSS数据舍去)来评估ARMA误差建模方法对MIMU导航性能的提升程度。不同陀螺零偏噪声模型多次中断10 s的组合导航结果如图4所示。图5表示了图3和图4中位置误差在时间轴上的对比，由图5可知整个实验过程共有15处GNSS中断。由图4可知，将零偏噪声ARMA建模后MIMU长时间导航精度显著提高，表明零偏不符合白噪声假设，在实际滤波过程中应进行ARMA建模，提高MIMU导航精度和能力。

对两种结果进行分析和统计，以MIMU/GNSS组合导航事后处理结果[15]为参考值，将GNSS多次中断10 s的组合导航结果与之比较，可以得到两种噪声模型下的导航误差。对这15段GNSS中断10 s的MIMU独立导航误差取出最大值，得到MIMU独立导航10 s最大误差如表4所示。

(a) 白噪声假设下GNSS多次中断10 s组合导航(a) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with white noise

(b) ARMA噪声下GNSS多次中断10 s组合导航(b) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with ARMA noise图4 不同噪声模型下GNSS多次中断10 s的导航结果Fig.4 Navigation results of different noise model in multiple 10-second GNSS outage

图5 图3与图4中组合导航位置误差比较Fig.5 Navigation position errors between fig.3 and fig.4

表4 GNSS中断10 s的MIMU外推最大导航误差Tab.4 Maximum error of MIMU navigation performance with 10-second GNSS outages

由表4可知，MIMU长时间导航精度成倍提升，性能显著增强。

4 结论

本文提出一种采用ARMA建模方法对低成本MIMU随机误差进行建模与在线补偿的方法。该方法建立的模型能够合理描述MIMU零偏特性，增广卡尔曼滤波器可实现系统状态的最优估计。从长时间(10 s) MIMU独立导航精度提升效果来看，原来无法独立使用的MIMU(位置误差20 m，速度误差8 m/s，姿态误差5°)经过ARMA噪声补偿后，自主导航精度性能显著提升(位置误差10 m以内，速度误差1.2 m/s以内，姿态误差0.6°以内)，即基于此ARMA模型的卡尔曼滤波器能够很好地估计并补偿MEMS惯性传感器的零偏噪声。因此，所提出的ARMA建模方法以及滤波器设计方法能够提升基于MEMS惯性传感器的低成本导航系统性能，具有重要的工程实用价值。

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ARMA-based stochastic modeling method for improving the performance of low-cost MIMU/GNSS integration

WANG Dingjie, LYU Hanfeng, WU Jie

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

High noise and complicated errors caused by low-cost MIMU (micro-electro-mechanical system-based inertial measurement unit, MEMS-based IMU) have caused its stochastic modeling challenge, which may undermine the performance of inertial-based integrated navigation. In order to achieve accurate MEMS-based navigation, a stochastic modeling method called auto-regressive moving-average model for low-cost MEMS-based inertial sensors was proposed on the basis of time series analysis theory. This model was then expanded into the state variables of the conventional Kalman filter to establish the system dynamic equation and observation equation and to estimate the zero-bias online. Field test results indicate that the proposed algorithm can not only realize a highly accurate autonomous navigation for low-cost MIMU, but also provide reliability to the MIMU/GNSS integrated system.

micro-electro-mechanical system; inertial measurement unit; stochastic modeling; auto-regressive moving-average; extended Kalman filtering

10.11887/j.cn.201606011

2015-07-11

国防科技大学研究生创新资助项目(B140103)

王鼎杰(1990—)，男，山西长治人，博士研究生，E-mail：wangdingjie11@nudt.edu.cn； 吴杰(通信作者)，男，教授，博士，博士生导师，E-mail：wujie_nudt@sina.com

V448.22+4

A

1001-2486(2016)06-064-06

http://journal.nudt.edu.cn