数学教学须处理好内容与形式的关系

吉智深

数学的抽象形式和关系离不开现实世界，数学的符号、公式和体系是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。例如数和形的概念完全是从现实世界得来的。但同时，“这些形式和关系客观地具有与内容无关的性质，无关到这样的程度以致能够把他们完全从内容中抽象出来”[1]，所以说数学往往被称为“形式的科学”。小学数学知识虽然比较简单，但也必须处理好内容与形式的关系，避免数学教学走向两个极端，一方面，我们应注意分析抽象的数学知识是如何形成和发展的，另一方面，我们也应引导学生理解数学是舍弃了具体现象去研究一般性质的科学，数学抽象的绝对化才是数学的特质。

一、数学的形式结合内容才让学生获得数学理解

抽象是数学的特点之一，但“抽象性的接受对人类的心智来说，并不是一件简单的差事。如果可以选择的话，人们会在实体和抽象之间选择前者”[2]。也就说，理解数学抽象这个能力并不是我们与生俱来的，而是在学习过程中艰苦获得的，这就决定了要理解抽象的数学就必须结合内容。

1.利用相关对象建构来体会符号的意义

数学符号是从客观事物中抽象出来的，教师经常用数学教具、数学模型及创设的数学情境帮助学生学习与理解数学符号。

比如数字“5”，学生应该先从五个手指、五个苹果、五片饼干等开始，观察与思考这些集合之间有没有共同点，通过教师的引导，学生知道这个叫“五（wǔ）”的语言表达了这些集合的共同点，同时这些共同点也被数字“5”所概括。从此以后，“5”这个符号会存在他们主观意识之中，并且伴随他们一生。

为了更好地解决数学问题，有时我们还必须给符号赋予新的内容。学生原来对“=”的理解，就是写出答案（问题在左、答案在右），而面对利用等式的性质来解方程时，学生就有了认识上的压力。教师此时就该鼓励把等号看成天平的支轴，这是给予“=”新的内容，或者让学生构造出算术等式，如2×6=4×3， 7×2+3-2=5×2-1+6等算术恒等式，让他们渐渐把“=”作为一个关系的记号，而不是“做某件事的信号”。借助于天平和算术恒等式，让学生对“=”有了新的认识，从而能把等式的性质和解方程联系起来。

2.通过具体实验操作来抓住概念的本质

数学从现实生活中抽象出的那些定义不是为了说明某种东西的存在，而是为了研究这些定义了的东西之间的关系，这几乎说出了数学概念的本质[3]。

关于质数与合数的概念教学，我国的教材基本上直接给出定义，美国教材在教学质数与合数时，安排学生通过矩形的组合探索一个数是质数还是合数。如探索6是质数还是合数，用6个正方形瓷片组合成尽可能多的矩形。我们可以得到1×6和2×3的两个矩形。所以，可以说6的因数有1、2、3和6，因此6有4个因数，它是一个合数。只要是质数，它的矩形组合只有唯一模式的矩形排列，只要是合数，它肯定不止一种模式的矩形排列。用摆正方形磁片的方式来学习质数与合数的概念，定义本身与磁片没有必然的联系，只是用这种方式来说明质数与合数之间的不同。这种“动手做”看起来是一种实验，其实是为判断质数和合数的形式给予了内容上的丰富，形式有了内容，就会加深学生对数学概念的理解。

3.借助物理材料表示来理解计算的原理

把符号表述直接地与学生的非正规知识相联系的另一种方法是形成实物表示，此类实物表示与作为讲授目标的抽象符号和方法有着突出联系[4]。

像62-45=23这类错误已经出现了上千次，为什么总会发生这样的错误，它的根源是学生没有理解位值原则和减法这两个抽象的概念，或者说是由于形式与内容（位值原则和减法）的过早分离所产生的。无论是事前的讲授还是事后的弥补，都可以借助计数块来解决这个问题，因为用十进制计数块明确地表示实物材料的操作与计算算法中的步骤之间是对应的，如图1所示。

图1 计数块操作

解方程有一种方法就是移位法，它是两边作同样运算的简略。但大多数学生却认为这两种方法是不一样的，在两边作同样的运算时强调了方程的对称性，而这个强调点在移项时却没有。为了改变学生的认识，我们也可以利用天平来说明两者的一致性。如解方程2x+4=8，可以看作天平的左边是2x+4，右边是8，如果在天平的左边拿走4，为了天平还是平衡的，右边也必须拿走4，也就是减4，从表面看，左边“+4”没有了，右边多了“-4”，简看起来就是把“+4”移到右边变成了“-4”，这就是对移项换号规则的理解。

4.依靠生活经验迁移来了解知识的发生

学生学习数学新知识之前，他们中的大多数已经储备了很多生活经验，其中有的是对理解数学是有很大帮助的。教师可以利用这些经验，引导学生理解数学知识的发生过程以及孤立的抽象知识之间的连贯性。

除法来源于减法和乘法，从形式上来看，除法是乘法的逆运算。从内容上看除法就是生活中学生熟悉的分物，也就是减法。可以用一个较小的数来分完另一个数，也可以把一个数平均分；可以是等分除，也可以是包含除；可能正好发完，也可能有剩余。比如在计算72÷3时，教师借助学具操作来演示具体的计算过程，先从72中减去10个3，再减去10个3，最后减去4个3，一共减去了24个3。每次减去几个除法可以不同，计算步骤可多可少，但只要减到余数为0即可，如果减不完，此时的余数一定小于除数，否则，还可以继续减。虽然用连减的方法得到可能是一个长除法，但实验证明这种综合渐进的算法教学策略明显要优于我们传统的算法教学，教师也不必一再强调余数一定要比除数小。分物既适用于整数除法，也适用于分数除法。例如4÷■，把4 块饼分给小朋友，每人■块，能分给多少人？通过直观图，我们一眼就知道4块饼里面含有8个■块，这就是说4÷■=8=4×2，颠倒相乘法则由此很容易得出。

二、数学的形式脱离内容才使数学得到广泛应用

在数学的研究中，我们必须舍弃对象或问题的特定的质的内容，而从纯形式的角度去进行研究[5]。正因为数学脱离了内容，仅仅抽取了普遍的性质，所以它的结论才能运用到大量实际情况中去。

1.数学公式（符号）揭示事物本性，促进公式（符号）的使用

数学对象是现实世界的量的关系和空间形式，获得了事物的一般性质与规律，从而使数学公式（符号）更好地被人们所广泛使用。

例如，圆的概念是舍弃圆形物的材质、颜色、质量等其他性质，而仅仅从它的空间形式（大小）来考察它。我们研究圆的性质，也是研究一般意义上的圆的性质， 而不是研究某一个人在某一个时候所画的某个具体的圆。圆的面积等于πr2，因为是探讨的一般圆的性质，所以这个公式得到了广泛的应用，工人、建造师、工程师、物理学家都要利用它来精确计算各类圆形的面积。

2.数学运算超越具体情境，得到同构的世界

数学运算概括了大量的经验，在抽象的形式中表现出现实世界的那些经常和到处碰到的运算。“算术的应用是因为有了真正的同构”[6]。

弗赖登塔尔举过两个应用题：约翰有26颗玻璃弹子，又赢了10颗。现在他有多少颗？屠夫史密斯有26千克肉，他又订购了10千克肉。现在他有多少千克肉？显然，小孩世界和屠夫的世界两者之间存在某种同构，史密斯对应约翰，子弹数对应肉的千克数，赢对应订购，一切都对应这。如果更仔细地看，这种同构是极其完美的。[6]“26+10= ”在教学时，首先处于具体的情境中，在这个情境中，学生了解了这个式子的含义，如果离开这个背景，这个式子仍然有意义。如果谈到应用，它能够适用于任何情境：26天和10天；16千米和10千米；26次和10次；……事实上，加法不仅仅适用与这种改变型情境，日本学者古藤伶根据学生编写的应用题，发现加法还适用于并加型、排队型、逆运算型。并加型：如有红花5朵和白花3朵，共有多少朵花？排队型：如一郎排在从前面数是第5位，一郎后面的第3位是二郎，二郎排在由第一位算起的第几位？逆运算型：如操场上有一些人，走了3人，还有5人，原有几个人？虽然这些问题与玻璃弹子问题的结构相比不够完美，但这并不妨碍人们运用加法这种运算来解决更多的实际问题。

3.数学方法摆脱特殊束缚，探寻一般的模式

数学家们并不停止于某个具体问题的解决，而是致力于进一步的思考：在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？[5]

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”这一要求。在实际教学过程中，广大教师对于形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b为常数”的方程有了一些争议，主要有两个：一是此类方程是不是简单方程，二是对于小学生而言，解此类方程是否适宜用等式的性质来解。一些教师认为：此类方程不适宜用等式的性质来解，而应该用算式中各部分间的关系来解。事实上，除了这种方法以外，小学生还会利用已知的数的事实来解形如：12-x=5，15÷x=5的方程，因为知道12-7=5，15÷3=5，他们就很容易解出这两个方程，如果他们没有想到这两种方法，他们还可以用试错法求出方程的解。从难易程度上来说，此类方程并没有超出学生的能力，既然学生有多种方法解决此类方程，那还要不要用等式的性质来解呢？回答是肯定的，因为不管是用算式中各部分间的关系来解、利用数的事实解方程还是试错法，他们都不是解方程的正规方法，虽然它们对于顺利过渡到正规解方程的方法是很有帮助的。正规方法有两个，一是利用等式的性质；二是移项法（其实这两种方法是一致的）。为什么前面所说的方法不是正规的方法，因为这些方法不能作广泛的推广，更多依靠直觉，没有把方程直接当作一个结构性的对象。正规方法把方程看作代数的符号体系，追求一种统一、可以推广的解决模式。在解形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b为常数”的方程时，即使学生用其他方法来解，教师也要引导学生来验证正规方法的正确性，如果不这样，就会鼓励学生绕过代数的符号体系而不是把方程直接当作一种结构性的对象。

我们要正确处理好内容和形式的辩证关系，理解两者在数学发展中所起的重要作用。数学教学过程中要借助内容分析抽象的数学概念是如何形成的、如何发展的，也要注重数学教学活动的最终产物——形式化的概念、思想、方法，因为它体现了数学的精髓与本质。

参考文献

[1] A.D.亚历山大洛夫.数学——它的内容，方法和意义[M].北京：科学出版社，2001.

[2] 齐斯·德福林.数学的语言——化无形为可见[M].桂林：广西师范大学出版社，2013.

[3] 史宁中.数学的抽象[J]. 东北师大学报：哲学社会科学版，2008（5）.

[4] D.A.格劳斯. 数学教与学研究手册[M].上海： 上海教育出版社，1999.

[5] 郑毓信.再谈“淡化形式，注重实质”[J]. 数学通报，1994（8）.

[6] 弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1999.

[责任编辑：陈国庆]