例谈解析几何减少计算量的几个技巧

江西省南昌市南钢学校 李娅琴

例谈解析几何减少计算量的几个技巧

江西省南昌市南钢学校 李娅琴

在高中数学学习中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

一、充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。

典型例题：设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x－2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

解：圆x2+y2+x-2y=0过原点，并且OP⊥OQ，

评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP⊥OQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x+4y+m=0上，而是设P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由OP⊥OQ和韦达定理求m，将会增大运算量。

二、充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三、充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题：求经过两已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0和C2：x2+y2-2y-4=0的交点，且圆心在直线：2x+4y-1=0上的圆的方程。

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。